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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 49

Determine as coordenadas do vetor diretor da reta de intersecção dos planos x + y + z = 1 e x + z = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? O vetor diretor da reta de intersecção entre dois planos é encontrado fazendo o produto vetorial entre os vetores diretores dos dois planos. Esse novo vetor vai ser simultaneamente perpendicular aos dois, sendo paralelo à reta que une os planos.

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + y + z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1,1 , 1 )

π 2 : x + z = 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 1,0 , 1 )

Passo 2

Agora vou determinar o vetor que seja ortogonal aos dois (e que vai pertencer ao plano que quero, pois ele é paralelo à reta de intersecção). Isso quer dizer fazer o produto vetorial entre eles:

a → = v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 1 1 1 0 1 = i → 1 - 0 + j → 1 - 1 + k → ( 0 - 1 )

a → = ( 1,0 , - 1 )

Para saber as coordenadas são ( 1,0 , - 1 )

Vamos pra próxima?

Resposta

( 1 , 0 , - 1 )

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Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. x + y = 1
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Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. x + 2 y = 3
Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado. 0,1 , - 1 e x + 2 y - z = 3
Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. 2 x - 5 y = 4