Determine dy/dx por derivação implícita xy + 2x + 3y = 1

Passo 1

Para obtermos a derivada implícita, derivamos em x em ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d x ( x y ) + d d x ( 2 x ) + d d x ( 3 y ) = d d x ( 1 )

Passo 2

A primeira expressão a esquerda da igualdade, apresenta uma regra de derivação da multiplicação. O segundo termo à esquerda da igualdade apresenta uma derivação simples. O terceiro termo apresenta a derivação implícita de d y / d x . A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada da constante a qual será nula. Assim:

d d x ( x ) ⋅ y + x ⋅ d d x ( y ) + ( 2 x 1 - 1 ) + 3 d y d x = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas temos que:

y + x ⋅ d d x ( y ) + 2 x + 3 d y d x = 0

Passo 4

Pondo a derivada implícita em evidência, a expressão ficará:

y + 2 x + d y d x ( x + 3 ) = 0

Podemos reescrever a expressão acima passando o y + 2 x para o lado direito.

d y d x ( x + 3 ) = - ( y + 2 x )

Resposta

Passando o termo ( x + 3 ) dividindo para o outro lado, o resultado será:

d y d x = - ( y + 2 x ) ( x + 3 )

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