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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 86

Suponha que a função f ( x ) e sua primeira derivada tenham valores a seguir em x   =   0 e x   = 1 .

x f(x) f’(x)

0 9 -2

1 -3 1/ 5

Encontre as primeiras derivadas das combinações a seguir nos valores dados de x.

Passo 1

  1. x f ( x ) ,   x = 1

Para derivarmos, podemos dizer que h ( x ) = x f ( x ) . Agora queremos a derivada dessa nova função.

Passo 2

Como temos uma multiplicação, a gente aplica regra do produto:

h ' ( x ) = ( x f ( x ) ) ' = x ' ⋅ f ( x ) + x ⋅ f ' ( x ) = 1 2 ⋅ x 1 / 2   -   1 ⋅ f ( x ) + x ⋅ f ' ( x ) = 1 2 ⋅ x - 1 / 2 ⋅ f ( x ) + x ⋅ f ' ( x )

Passo 3

Como queremos a derivada para x = 1 :

h ' ( 1 ) = 1 2 ⋅ 1 - 1 / 2 ⋅ f ( 1 ) + 1 ⋅ f ' ( 1 ) = 1 2 ⋅ ( - 3 ) + 1 / 5 =   - 3 2 + 1 5

h ' ( 1 ) =   - 13 10

Passo 4

b. f ( x ) ,   x = 0

Chamaremos h ( x ) = f ( x ) . Agora queremos a derivada dessa nova função.

Passo 5

Para derivar essa função, é necessário a gente derivar a raiz e depois derivar o que está dentro dela:

h ' ( x ) = f ( x ) ' = 1 2 f ( x ) - 1 / 2 ⋅ f ' ( x )

Passo 6

Como a gente quer h ' ( x ) em x = 0 :

h ' ( 0 ) = 1 2 f ( 0 ) - 1 / 2 ⋅ f ' ( 0 ) = 1 2 9 - 1 / 2 ⋅ ( - 2 ) = 1 2 ⋅ 1 3 ⋅ ( - 2 )

h ' ( 0 ) =   - 1 3

Passo 7

c. f ( x ) ,   x = 1

Chamando h ( x ) = f ( x ) , iremos derivar h ( x ) .

Passo 8

Nesse caso, a gente aplica regra da cadeia, derivando de fora para dentro:

h ' ( x ) = f ( x ) ' = f ' ( x ) ⋅ x ' = f ' ( x ) ⋅ 1 2 ⋅ x - 1 / 2

Passo 9

A gente precisa calcular a derivada para x = 1 , então:

h ' ( 1 ) = f ' ( 1 ) ⋅ 1 2 ⋅ 1 - 1 / 2 = f ' ( 1 ) ⋅ 1 2 = 1 5 ⋅ 1 2

h ' ( 1 ) = 1 10

Passo 10

d. f ( 1 - 5   t g   x ) ,   x = 0

Chamando h ( x ) = f ( 1 - 5   t g   x ) , iremos derivar h ( x ) .

Passo 11

Como na questão anterior, a gente aplica a regra da cadeia:

h ' ( x ) = f ( 1 - 5   t g   x ) ' = f ' ( 1 - 5   t g   x ) ⋅ 1 - 5   t g   x ' = f ' ( 1 - 5   t g   x ) ⋅ - 5   t g '   x

h ' ( x ) =   - 5 ⋅ f ' ( 1 - 5   t g   x ) ⋅ t g '   x

Passo 12

Para derivar a t g   x , a gente pode aplicar a regra do quociente:

t g   x = s e n   x c o s   x = c o s   x ⋅ c o s   x   -   s e n   x   ⋅   ( -   s e n   x ) c o s 2 x = 1 c o s 2 x = s e c 2 x

Passo 13

Agora a gente pode calcular a derivada para x = 0 :

h ' ( 0 ) =   - 5 ⋅ f ' ( 1 - 5   t g   x ) ⋅ s e c 2 x   =   - 5 ⋅ f ' ( 1 - 5   t g   0 ) ⋅ s e c 2 0  

Passo 14

Temos que:

t g   0   =   s e n   0 c o s   0 = 0 1 = 0

s e c   0   =   1 c o s 2 0 = 1 1 = 1

Passo 15

Então:

h ' ( 0 ) =   - 5 ⋅ f ' ( 1 ) ⋅ 1 =   - 5 ⋅ 1 5  

h ' ( 0 ) =   - 1

Passo 16

e. f ( x ) 2 + c o s   x ,   x = 0

Chamando h ( x ) = f ( x ) 2 + c o s   x , iremos derivar h ( x ) .

Passo 17

Aqui podemos aplicar a regra do quociente:

h ' ( x ) = f ( x ) 2 + c o s   x ' = f ' ( x ) ⋅ ( 2 + c o s   x )   -   f ( x ) ⋅ ( 2 + c o s   x ) ' ( 2 + c o s   x ) 2 = f ' ( x ) ⋅ ( 2 + c o s   x )   -   f ( x ) ⋅ ( - s e n   x ) ( 2 + c o s   x ) 2

Passo 18

Agora a gente só precisa calcular para x = 0 :

h ' ( 0 ) = f ' ( x ) ⋅ ( 2 + c o s   x )   -   f ( x ) ⋅ ( - s e n   x ) ( 2 + c o s   x ) 2 = f ' ( 0 ) ⋅ ( 2 + c o s   0 )   -   f ( 0 ) ⋅ ( - s e n   0 ) ( 2 + c o s   0 ) 2 = - 2 ⋅ ( 2 + 1 )   - 9 ⋅ 0 ( 2 + 1 ) 2 = - 2 ⋅ 3 ( 3 ) 2

h ' ( 1 ) =   - 2 3

Passo 19

f. 10   s e n π x 2 f 2 ( x ) ,   x = 1

Chamando h ( x ) = 10   s e n π x 2 f 2 ( x ) , iremos derivar h ( x ) .

Passo 20

Como temos um produto, iremos aplicar a regra do produto:

h ' ( x ) = 10   s e n π x 2 f 2 ( x ) ' = 10   s e n ' π x 2 ⋅ f 2 ( x ) + 10   s e n π x 2 ⋅ f 2 ( x ) '

Passo 21

Para derivar a função seno, precisamos usar regra da cadeia:

  s e n ' π x 2 = c o s π x 2 ⋅ π x 2 ' = c o s π x 2 ⋅ π 2

Passo 22

Agora, para fazer a outra derivada a gente aplica regra da potência:

f 2 ( x ) ' = 2 ⋅ f ( x ) ⋅ f ' ( x )

Passo 23

Nosso h ' ( x ) então será:

h ' ( x ) = 10   ⋅ c o s π x 2 ⋅ π 2 ⋅ f 2 ( x ) + 10   s e n π x 2 ⋅ 2 ⋅ f ( x ) ⋅ f ' ( x )

Passo 24

Agora a gente só precisa calcular para x = 1 :

h ' ( 1 ) = 10   ⋅ c o s π ⋅ 1 2 ⋅ π 2 ⋅ f 2 ( 1 ) + 10   s e n π ⋅ 1 2 ⋅ 2 ⋅ f ( 1 ) ⋅ f ' ( 1 )

h ' ( 1 ) = 10 ⋅ 0 ⋅ π 2 ⋅ ( - 3 ) 2 + 10 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ ( - 3 ) ⋅ 1 / 5 = 0 + 2 ⋅ ( - 6 )

h ' ( 1 ) =   - 12

Resposta

  1. - 13 10
  2. - 1 3
  3. 1 10
  4. - 1
  5. - 2 3
  6. -12
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