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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 66

Determine d y // d x por derivação implícita x ^2 + x y + y ^2 - 5 x = 2

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d x) ( x ^2 ) + (d)/(d x) ( x y ) + (d)/(d x) ( y ^2 ) - (d)/(d x) ( 5 x ) = (d)/(d x) ( 2 )

Passo 2

A primeira expressão a esquerda da igualdade e a quarta, apresentam uma regra de derivação do expoente. O segundo termo à esquerda da igualdade apresenta uma derivação da multiplicação. O terceiro termo apresenta a derivação implícita de d y // d x , apresentando uma regra da cadeia. A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada da constante a qual será nula. Assim:

2 x (d x)/(d x) + (d)/(d x) ( x ) * y + x * (d)/(d x) ( y ) + 2 y (d)/(d x) ( y ) - 5 (d x)/(d x) = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas temos que:

2 x + y + x (d y)/(d x) + 2 y (d y)/(d x) - 5 = 0

Passo 4

Pondo a derivada implícita em evidência, a expressão ficará:

y + 2 x + (d y)/(d x) ( x + 2 y ) - 5 = 0

Podemos reescrever a expressão acima passando o y + 2 x - 5 para o lado direito.

(d y)/(d x) ( x + 2 y ) = - ( y + 2 x ) + 5

Resposta

Passando o termo ( x + 3 ) dividindo para o outro lado, o resultado será:

(d y)/(d x) = (5 - ( 2 x + y ))/(( x + 2 y ))

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