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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1l

Determine a derivada.

f (x) = root(3)((x - 1)/(x + 1))

Passo 1

Vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma raiz cúbica, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Onde u = g (x) .

Passo 2

Temos que g (x) é a função mais de dentro e y = f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = (x - 1)/(x + 1)

Assim:

y = f (x) = root(3)(u) = u^((1)/(3))

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função constante, do polinômio e da divisão, vamos dá uma olhada nelas:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

((r (x))/(s (x)))^' = (r^' (x) s (x) - r (x) s ' (x))/([s (x)]^2)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x) = (d)/(d u) (u^((1)/(3))) * (d)/(d x) ((x - 1)/(x + 1))

Passo 4

Vamos calcular a derivada do produto:

(d)/(d x) ((x - 1)/(x + 1)) = (r^' (x) s (x) - r (x) s ' (x))/([s (x)]^2) = ((x - 1)^' (x + 1) - (x - 1) (x + 1)^')/((x + 1)^2) = ((x^(1 - 1) - 0) (x + 1) - (x - 1) (x^(1 - 1) + 0))/((x + 1)^2) = ((x^0 - 0) (x + 1) - (x - 1) (x^0 + 0))/((x + 1)^2) = ((1 - 0) (x + 1) - (x - 1) (1 + 0))/((x + 1)^2) = (x + 1 - x + 1)/((x + 1)^2) = (2)/((x + 1)^2)

Passo 5

Agora é só substituir de volta em y^' :

y^' = (d)/(d u) (u^((1)/(3))) * (d)/(d x) ((x - 1)/(x + 1)) = (1)/(3) u^((1)/(3) - 1) * (2)/((x + 1)^2) = (1)/(3) u^(- (2)/(3)) * (2)/((x + 1)^2) = (1)/(3 root(3)(u^2)) * (2)/((x + 1)^2) = (2)/(3 (x + 1)^2 root(3)(u^2))

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = (2)/(3 (x + 1)^2 root(3)(u^2)) = (2)/(3 (x + 1)^2 root(3)(((x - 1)/(x + 1))^2))

Resposta

y ' = (2)/(3 (x + 1)^2 root(3)(((x - 1)/(x + 1))^2))

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