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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 53

Determine a derivada da função y = ( x + 2 ) ^(x + 2)

Passo 1

Como temos o termo a ser derivado na base e no expoente, fica mais fácil derivarmos se usarmos a relação a ^b = e ^(b l n a) . Aplicando essa relação, temos:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ( ( x + 2 ) ^(x + 2) ) = (d)/(d x) ( e ^(( x + 2 ) l n ( x + 2 )) )

Passo 2

Agora para derivar a exponencial basta fazer a exponencial vezes a derivada do seu argumento.

(d)/(d x) ( e ^(( x + 2 ) l n ( x + 2 )) ) = e ^(( x + 2 ) l n ( x + 2 )) * (d)/(d x) ( ( x + 2 ) l n ( x + 2 ) ) = ( x + 2 ) ^(x + 2) * (d)/(d x) ( ( x + 2 ) l n ( x + 2 ) )

Passo 3

Para a derivada que falta, usamos a regra do produto:

(d)/(d x) ( ( x + 2 ) l n ( x + 2 ) ) = (d)/(d x) ( x + 2 ) * l n ( x + 2 ) + ( x + 2 ) * (d)/(d x) ( l n ( x + 2 ) )

Passo 4

A primeira derivada será:

(d)/(d x) ( x + 2 ) = (d)/(d x) ( x ) + (d)/(d x) ( 2 ) = x

Passo 5

A segunda derivada será:

(d)/(d x) ( l n ( x + 2 ) ) = (1)/(x + 2)

Resposta

Substituindo as derivadas:

(d y)/(d x) = ( x + 2 ) ^(x + 2) [(d)/(d x) ( x + 2 ) * l n ( x + 2 ) + ( x + 2 ) * (d)/(d x) ( l n ( x + 2 ) )] = ( x + 2 ) ^(x + 2) [x * l n ( x + 2 ) + ( x + 2 ) * (1)/(x + 2)]

(d y)/(d x) = ( x + 2 ) ^(x + 2) [x * l n ( x + 2 ) + 1]

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