Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.6 - Ex. 23
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Passo 1
Fala aí. Tudo certinho com você?
Bom, essa questão da pra gente a função
E pede pra que a gente encontre .
Ou seja, precisaremos das derivadas de primeira e de segunda ordem da função.
Pra fazer isso, basta derivar a função a primeira vez, encontrando a derivada de primeira ordem, e depois derivar o resultado que obtivermos novamente, assim encontraremos a derivada de segunda ordem.
Então é isso que fazermos. Mas perceba que nossa função é formada pela multiplicação de duas outras funções. Sendo assim, ela pode ser entendida como:
Sendo:
E
E sua derivação será calculada usando a regra do produto. Que diz o seguinte:
Então precisaremos as funções , e de suas derivadas.
Vamos calcular tudo isso no passo a passo. Vem comigo que te mostro como!
Passo 2
Estamos olhando para a nossa função
Como:
Sendo:
Sua derivada será calculada usando a regra do expoente. Assim:
E
Mas aqui temos uma função dentro da outra, ou seja, uma função composta. Então sua derivada será calculada usando a regra da cadeia.
Sendo
E
Faremos a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.
Ou seja:
Que pode ser simplificado para
Agora basta substituir tudo que temos até aqui na regra do produto.
Passo 3
Sendo:
Substituindo tudo ficamos com:
E simplificando um pouco melhor, ficamos com:
Show, essa é nossa derivada de primeira ordem.
Passo 4
Agora, calcularemos .
Para calcular esta derivada, basta derivarmos . Nessa derivada usaremos a propriedade da derivada da soma e a regra do produto novamente, ficando com:
A primeira é bem simples,
Já para a segunda, usaremos a regra do produto novamente:
Assim:
e
Com:
E
E para
Já vimos que
Assim, nossa derivada de segunda ordem será:
Ajeitando um pouco, ficamos com:
Que será:
E prontinho, essa é nossa derivada de segunda ordem da função .