Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 38

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t i + t cos 2 t j + sen^2 2 t cos 2 t k) d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t i + t cos 2 t j + sen^2 2 t cos 2 t k) d t

= (int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t) d t) i + (int_0^((pi)/(4)) (t cos 2 t) d t) j + (int_0^((pi)/(4)) (sen^2 2 t cos 2 t) d t) k

Passo 2

Calculando cada uma, temos:

(int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t) d t) i = [sec t i]_0^((pi)/(4))

= [sec ((pi)/(4)) - sec 0] i

(int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t) d t) i = (sqrt(2) - 1) i

Passo 3

Para calcular (int_0^((pi)/(4)) (t cos 2 t) d t) j , temos que aplicar a regra da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Para o nosso caso, temos que u = t e d v = cos 2 t , logo:

d u = 1

v = int cos 2 t d v

v = (sen 2 t)/(2)

Portanto:

(int_0^((pi)/(4)) (t cos 2 t) d t) j = [t ((sen 2 t)/(2))]_0^((pi)/(4)) - int_0^((pi)/(4)) (1)/(2) sen 2 t d t

= [t ((sen 2 t)/(2)) j]_0^((pi)/(4)) + [(1)/(4) cos 2 t j]_0^((pi)/(4))

= [(1)/(2) * (pi)/(4) * sen ((2 pi)/(4)) + (1)/(4) cos ((2 pi)/(4)) - (1)/(4) cos 0] j

= [(pi)/(8) * (1) + (1)/(4) (0) - (1)/(4) ( 1 )] j

= [(pi)/(8) - (1)/(4)] j

(int_0^((pi)/(4)) (t cos 2 t) d t) j = ((pi - 2)/(8)) j

Passo 4

Para a integral (int_0^((pi)/(4)) (sen^2 2 t cos 2 t) d t) k , temos que utilizar o método da substituição. Vamos chamar:

sen 2 t = u

Logo:

d u = 2 t cos 2 t d t

Substituindo, temos:

(int_0^((pi)/(4)) (sen^2 2 t cos 2 t) d t) k = (int_0^((pi)/(4)) ((u^2) d u)/(2)) k

Resolvendo, temos que:

(int_0^((pi)/(4)) (sen^2 2 t cos 2 t) d t) k = (int_0^((pi)/(4)) ((u^2) d u)/(2)) k = (1)/(2) [(u^3)/(3) k]_0^((pi)/(4))

Substituindo pelo valor inicial, temos que:

(int_0^((pi)/(4)) (sen^2 2 t cos 2 t) d t) k = (1)/(2) [((sen 2 t)^3)/(3) k]_0^((pi)/(4))

= (1)/(2) [(sen^3 2 t)/(3) k]_0^((pi)/(4))

= (1)/(2) [(sen^3 2 ((pi)/(4)))/(3) - (sen^3 2 ( 0 ))/(3)] k

(int_0^((pi)/(4)) (sen^2 2 t cos 2 t) d t) k = (1)/(6) k

Passo 5

Logo, a nossa resposta para a integral será:

int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t i + t cos 2 t j + sen^2 2 t cos 2 t k) d t = (sqrt(2) - 1) i + ((pi - 2)/(8)) j + (1)/(6) k

Resposta

int_0^((pi)/(4)) (sec t tan t i + t cos 2 t j + sen^2 2 t cos 2 t k) d t = (sqrt(2) - 1) i + ((pi - 2)/(8)) j + (1)/(6) k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A B C D E F um hexágono regular de centro O , como o da Figura 2-10. Obtenha as seguintes medidas angulares em graus:a) a n gA C → ,D E → b) a n gA C → + A E → ,B F → c) a n gA O → + C E → ,C F →
Determine vec u ortogonal a ( - 3 , 0 , 1 ) tal que vec u * (1 , 4 , 5) = 24 e vec u * (- 1 , 1 , 0) = 1 .
Obtenha um vetor vec u ortogonal a vec v = ( 4 , - 1 , 5 ) e vec w = ( 1 , - 2 , 3 ) tal que vec u * (1 , 1 , 1) = - 1 .
Decomponha u → = ( 1 ,0 ,3 ) como soma dos vetores v → e w → tais que v → , ( 1 ,1 ,1 ) e ( - 1 ,1 ,2 ) sejam LD e w → seja ortogonal aos dois últimos.
Obtenha u → ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) tal que u → = 2 e a medida angular em graus entre u → e ( 1 ,- 1 ,0 ) seja 45 ° .