Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r t = t 2 i ^ + cos ⁡ t 2 j ^ + s e n 2   t   k ^

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nos foi dada a seguinte equação vetorial:

r t = t 2 i ^ + cos ⁡ t 2 j ^ + s e n 2   t   k ^

Queremos determinar a derivada r ' t .

Para isso, basta derivarmos as equações paramétricas individualmente em relação a t , certinho??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando a derivada nas equações paramétricas, temos:

r ' t = d d t t 2 i ^ + d d t cos ⁡ t 2 j ^ + d d t s e n 2   t   k ^

A primeira derivada a gente resolve utilizando a regra da potência:

d d t t 2 = 2 t 2 - 1 ∴

d d t t 2 = 2 t

Para a segunda derivada a gente aplica a regra da cadeia fazendo u = t 2 :

d d t cos ⁡ t 2 = d d u cos ⁡ u d d t t 2 ∴

d d t cos ⁡ t 2 = - 2 t   s e n t 2

Por fim, da terceira derivada, temos uma multiplicação de funções... Podemos expressar como:

s e n 2   t = s e n   t s e n   t

Aplicando a regra do produto, temos:

s e n 2   t ' = s e n   t ' s e n   t + s e n   t s e n   t '

s e n 2   t ' = ( cos ⁡ t ) s e n   t + s e n   t ( cos ⁡ t )

s e n 2   t ' = 2 s e n   t ( cos ⁡ t )

Portanto, a derivada da equação será:

r ' t = 2 t   i ^ - 2 t   s e n t 2   j ^ + 2 s e n   t cos ⁡ t   k ^

Resposta

r ' t = 2 t   i ^ - 2 t   s e n t 2   j ^ + 2 s e n   t cos ⁡ t   k ^

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