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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 8

São dadas as bases ortonormais E e F . Determine a e b , sabendo que u → = 1 ,   1 ,   2 E = b ,   a ,   1 F e v → = 1 ,   2 ,   3 E = 3 ,   1 ,   2 F .

Passo 1

Bom, como as duas bases são ortonormais, podemos usar a fórmula

a 1 ,   b 1 ,   c 2 ⋅ a 2 ,   b 2 ,   c 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2

Além disso, o produto escalar independe da base escolhida, de modo que

u → ⋅ v → = 1 ,   1 ,   2 ⋅ 1 ,   2 ,   3 = b ,   a ,   1 ⋅ ( 3 ,   1 ,   2 )

O termo do meio é o produto escalar na base E e o da direita é o produto escalar na base F . Fazendo as contas:

1 + 2 + 6 = 3 b + a + 2 ⇒ a + 3 b = 7

Daí, tiramos que

a = 7 - 3 b

Passo 2

Vamos tirar uma outra equação da norma de u → :

u → 2 = 1 2 + 1 2 + 2 2 = b 2 + a 2 + 1 2

O termo representa a norma calculada com a base E e o termo da direita a base F . Assim,

a 2 + b 2 = 5

Passo 3

Temos que resolver o sistema

a = 7 - 3 b a 2 + b 2 = 5

Substituindo a primeira na segunda:

7 - 3 b 2 + b 2 = 5

Assim,

49 - 42 b + 9 b 2 + b 2 = 5 ⇒ 10 b 2 - 42 b + 44 = 0 ⇒ 5 b 2 - 21 b + 22 = 0

Assim,

Δ = - 21 2 - 4 ⋅ 5 ⋅ 22 = 441 - 440 = 1

Portanto,

b = 21 ± 1 10

Obtemos então

b = 2 ⇒ a = 1             o u           b = 11 5 ⇒ a = 2 5

Resposta

b = 2 ⇒ a = 1             o u           b = 11 5 ⇒ a = 2 5

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