Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 30
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.
30.
Passo 1
Galerinha, belezura?
Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo?
Então bora lá! Para determinarmos se a sequência
converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito.
Daí você pode estar se perguntando: Por que isso??
Vamos relembrar que uma sequência tem limite e escrevemos
se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Sacou?
Então vamos aplicarmos isso a nossa questão. Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!
Passo 2
Vamos primeiro reescrever a sequência dada para que possamos calcular seu limite quando tende para infinito, assim poderemos dizer se ela é convergente ou não. Primeiro dividimos tanto o denominador quanto o numerador pelo termo de maior grau no denominador. Como é constante, o termo será :
Dividir por resulta em , pois ao dividir potências de mesma base, subtraímos os expoentes.
Dividir por resulta em , pois qualquer número dividido por si mesmo é igual a .
Então, reescrevendo a expressão com essas simplificações, temos:
Agora podemos aplicar o limite:
Como o limite da razão é igual à razão dos limites:
Passo 3
O limite de cima é:
Podemos ver que esta sequência é do tipo:
E por definição a gente sabe que se , como é o caso, a sequência converge para zero:
Já o limite de baixo é:
Porque o termo tende para zero, pois o denominador tende para infinito quando fazemos n tender para infinito.
Passo 4
E o limite final será:
A sequência então converge para zero.