Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

30. a_n = 4^n / (1 + 9^n)

Passo 1

Galerinha, belezura?

Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo?

Então bora lá! Para determinarmos se a sequência

a n = 4 n 1 + 9 n

converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito.

Daí você pode estar se perguntando: Por que isso??

Vamos relembrar que uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Sacou?

Então vamos aplicarmos isso a nossa questão. Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

l i m n → ∞ = 4 n 1 + 9 n

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a sequência dada para que possamos calcular seu limite quando n tende para infinito, assim poderemos dizer se ela é convergente ou não. Primeiro dividimos tanto o denominador quanto o numerador pelo termo de maior grau no denominador. Como 1 é constante, o termo será 9 n :

a n = 4 n 9 n 1 + 9 n 9 n

Dividir 4 n 9 n por 1 9 n ​ resulta em 4 n 9 n × 9 n , pois ao dividir potências de mesma base, subtraímos os expoentes.

Dividir 1 9 n ​ por 1 9 n resulta em 1 , pois qualquer número dividido por si mesmo é igual a 1 .

Então, reescrevendo a expressão com essas simplificações, temos:

a n = 4 9 n 1 9 n + 1

Agora podemos aplicar o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 4 9 n 1 9 n + 1

Como o limite da razão é igual à razão dos limites:

L = l i m n → ∞ 4 9 n l i m n → ∞ 1 9 n + 1

Passo 3

O limite de cima é:

l i m n → ∞ 4 9 n

Podemos ver que esta sequência é do tipo:

b n = r n

E por definição a gente sabe que se - 1 < r < 1 , como é o caso, a sequência converge para zero:

l i m n → ∞ 4 9 n = 0

Já o limite de baixo é:

l i m n → ∞ 1 9 n + 1 = 1

Porque o termo 1 9 n tende para zero, pois o denominador tende para infinito quando fazemos n tender para infinito.

Passo 4

E o limite final será:

L = 0 1 = 0

A sequência então converge para zero.

Resposta

L = 0

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