São dados os números reais positivos a e b , e o vetor u → , de norma a . Dentre os vetores de norma b , qual é o que torna o produto escalar u → ⋅ v → máximo? E mínimo? Quais são esses valores máximo e mínimo.

Passo 1

Sabemos que o valor máximo de um produto escalar ocorre quando o ângulo entre os vetores é θ = 0 ° , e é mínimo quando θ = 180 ° . Para o máximo, temos que

u → ⋅ v → = u →   v → = a b

Já para o mínimo,

u → ⋅ v → = - u →   v → = - a b

Passo 2

Vamos olhar primeiro para o caso máximo: v deve apontar na mesma direção e sentido de u → :

v → = x   u → ,   x > 0

Assim, temos que

v → = x u → = x a

Assim,

a ⋅ x a = a b ⇒ x = b a

Portanto,

v → = b a   u →

Passo 3

Para o caso do mínimo, o raciocínio é o mesmo, mas o vetor está no sentido contrário:

v → = - b a   u →

Resposta

M á x i m o :     v → = b a   u → ⇒ u → ⋅ v → = a b

M á x i m o :     v → = - b a   u → ⇒ u → ⋅ v → = - a b

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