São dados os números reais positivos a e b , e o vetor u → , de norma a . Dentre os vetores de norma b , qual é o que torna o produto escalar u → ⋅ v → máximo? E mínimo? Quais são esses valores máximo e mínimo.

M á x i m o : v → = b au → ⇒ u → ⋅ v → = a b á M á x i m o : v → = - b au → ⇒ u → ⋅ v → = - a b á

Enunciado

Sabemos que o valor máximo de um produto escalar ocorre quando o ângulo entre os vetores é , e é mínimo quando . Para o máximo, temos que

Já para o mínimo,

Vamos olhar primeiro para o caso máximo: deve apontar na mesma direção e sentido de :

Assim, temos que

Assim,

Portanto,

Para o caso do mínimo, o raciocínio é o mesmo, mas o vetor está no sentido contrário: