Determine a derivada da função vetorial.

r(t) = 〈3 * cos(t), t, sen(3t)〉

Passo 1

Beleza, meu brother. Vamos derivar aqui.

A gente tem a função vetorial:

r t = 3 cos ⁡ t , t , sen ⁡ 3 t

E precisamos derivar ela.

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = x t , y t z ( t )

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = x ' t , y ' t z ' ( t )

Isso é, derivamos cada termo da nossa equação paramétrica.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte função vetorial

r t = 3 cos ⁡ t , t , sen ⁡ 3 t

Onde:

x t = 3 cos ⁡ t

y t = t

z t = sin ⁡ 3 t

Então, temos que:

r ' t = d d t ( cos ⁡ 3 t ) , d d t ( t ) , d d t sen ⁡ 3 t

Relembrando a regra da cadeia:

d d x f g x ´ = f ' g x g ' x

d d t sin ⁡ 3 t = d sin ⁡ t d t ⋅ d d t 3 t

Então:

r ' t = - 3 sen ⁡ 3 t , 1,3 cos ⁡ 3 t

Resposta

r ' t = - 3 sen ⁡ 3 t , 1,3 cos ⁡ 3 t

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