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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 14

Seja vec r (t) = 2 cos (w t) vec i + 4 s e n (w t) vec j , onde w é uma constante não nula. Mostrar que

(d^2 vec r)/(d t^2) = - w^2 vec r

Passo 1

A enunciado nos pede para mostrar que a segunda derivada de vec r (t) vale - w^2 vec r . Então vamos calcular as derivadas e verificar que isso é verdade. Mas antes vamos lembrar de algumas derivadas importantes:

(s e n (a x))^' = acos (a x)

(c o s (a x))^' = - a s e n ( a x )

Repare que não podemos nos esquecer da regra de cadeia!

vec r (t) = 2 cos (w t) vec i + 4 s e n (w t) vec j

Passo 2

vec r (t) = 2 cos (w t) vec i + 4 s e n (w t) vec j

Derivando pela primeira vez:

(d vec r)/(d t) = 2 (- w s e n (w t)) vec i + 4 (w c o s (w t)) vec j

Assim,

(d vec r)/(d t) = - 2 w s e n (w t) vec i + 4 w c o s (w t) vec j

Passo 3

Derivando a expressão de (d vec r)/(d t) em relação ao tempo:

(d^2 vec r)/(d t^2) = - 2 w (w c o s (w t)) vec i + 4 w (w (- s e n (w t))) vec j

Isto é,

(d^2 vec r)/(d t^2) = - 2 w^2 c o s (w t) vec i - 4 w^2 s e n (w t) vec j

Colocando - w^2 em evidencia:

(d^2 vec r)/(d t^2) = - w^2 (2 c o s (w t) vec i + 4 s e n (w t) vec j)

Como vec r (t) = 2 cos (w t) vec i + 4 s e n (w t) vec j :

(d^2 vec r)/(d t^2) = - w^2 vec r (t)

Portanto, mostramos o que ele nos pede 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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