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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 74

Determine a distância entre os planos paralelos dados

6 z = 4 y - 2 x ,               9 z = 1 - 3 x + 6 y

Passo 1

Olá, tudo bem? Pra resolver essa questão precisamos lembrar da fórmula da distância D do ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano de equação a x + b y + c z + d = 0 :

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

Passo 2

Sabendo que os planos são paralelos, podemos escolher um ponto arbitrário em um deles e calcular sua distância ao outro plano.

Vou escolher o plano de equação 6 z = 4 y - 2 x .

Fazendo x = y = 0 podemos determinar a coordenada z :

z = 0

E assim determinar o ponto correspondente: P ( 0 , 0,0 )

Passo 3

Sabendo que o ponto é ( 0 , 0,0 ) e a equação do plano é 9 z = 1 - 3 x + 6 y basta substituir os coeficientes na fórmula para D .

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

Mas antes vou reorganizar os termos da equação do plano para ficar mais fácil de identificar os coeficientes:

3 x - 6 y + 9 z - 1 = 0

Pronto, agora sim é só substituir:

D = | 3.0 - 6.0 + 9.0 - 1 | 3 2 + ( - 6 ) 2 + 9 2  

D = 1 9 + 36 + 81 = 1 126 = 126 126

D = 126 126

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

D = 5 56

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Calcule a distância do ponto P ao plano pi a) P = (0 , 0 , - 6) pi : x - 2 y - 2 z - 6 = 0 b) P = (1 , 1 , (15)/(6)) pi : 4 x - 6 y + 12 z + 21 = 0 c) P = (9 , 2 , - 2) pi : X = (0 , - 5 , 0) + lambda
Calcule a distância do ponto de interseção de r e s ao plano determinado por t e h , sendo r : X = 1 ,3 ,4 + λ 1 ,2 ,3 s : X = 1 ,1 ,0 + λ ( - 1 ,0 ,1 ) t : X = 0 ,1 ,0 + λ 0 ,6 ,1h : x = y - 6 z + 8
Obtenha os pontos da reta r : x = 2 - y = y + z que distam sqrt(6) do plano pi : x - 2 y - z = 1 .
Obtenha uma equação geral do plano bissetor do diedro agudo determinado pelos planos π 1 : x - 2 y + 3 z = 0 e π 2 : 2 x + y - 3 z = 0 .
Descreva o lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ cujas distâncias a π 1 : 2 x - y + 2 z - 6 = 0 são os dobros de suas distâncias a π 2 : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 .