Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 22
Calcule a distância do ponto de interseção de e ao plano determinado por e , sendo
Passo 1
O que vamos fazer nesse exercício é encontrar o ponto de intersecção de e , depois vamos encontrar o plano que tem os vetores diretores das retas e e que passe pelo ponto , pertencente à reta . Aí então vamos calcular a distância entre e hehe
Passo 2
Encontrando a intersecção entre e
Um ponto genérico de é , e um ponto genérico de , trocando seu parâmetro, é . Para encontrarmos a intersecção das retas, vamos igualar esses pontos:
Igualando as coordenadas, temos:
Da segunda equação, temos . Substituindo na terceira:
Substituindo esses valores na primeira equação, o resultado condiz, então tudo certo hahaha então, o ponto , substituindo no ponto genérico de , é
Passo 3
Encontrando o plano
Primeiro vamos encontrar uma equação vetorial para :
Temos , ou seja:
Então
Então nossa reta pode ser escrita assim
Então, um vetor diretor de é , igual ao vetor diretor de .
Passo 4
O plano que queremos vai ter um vetor normal dado pelo produto vetorial do vetor diretor e de , onde é um ponto de e é um ponto de .
Temos , então, o vetor normal do plano que queremos é
Então, nosso plano pode ser escrito assim:
Para encontrarmos , vamos substituir o ponto , que pertence ao plano pois está na reta
Então o nosso plano tem a equação:
Passo 5
Agora sim, sabemos que a fórmula de distância entre um ponto e um plano é
No nosso caso, e , então