Obtenha uma equação geral do plano bissetor do diedro agudo determinado pelos planos π 1 : x - 2 y + 3 z = 0 e π 2 : 2 x + y - 3 z = 0 .

Passo 1

Para encontrarmos esse plano bissetor, basta encontrarmos o lugar geométrico de pontos X = ( x ,   y ,   z ) tais que

d X ,   π 1 = d X ,   π 2

Sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

Passo 2

Queremos:

d X ,   π 1 = d X ,   π 2

Sabendo que π 1 : x - 2 y + 3 z = 0 e π 2 : 2 x + y - 3 z = 0 , P = ( x ,   y ,   z ) , temos

1 . x - 2 . y + 3 . z 1 2 + - 2 2 + 3 ² = 2 . x + 1 . y - 3 . z 2 2 + 1 2 + ( - 3 ) ²

x - 2 y + 3 z 14 = 2 x + y - 3 z 14

x - 2 y + 3 z = 2 x + y - 3 z

Daí temos dois lugares geométricos, pois estamos lidando com módulos hehe

Vamos calcular primeiro para tudo sem sinal negativo:

x - 2 y + 3 z = 2 x + y - 3 z

p 1 :   x + 3 y - 6 z = 0

Agora com sinal negativo:

- x - 2 y + 3 z = - 2 x + y - 3 z

- x + 2 y - 3 z = - 2 x - y + 3 z

p 2 :   3 x - 3 y + 6 z = 0

Beleza, temos dois planos bissetores certo?

Mas nós queremos aquele que está no diedro agudo.

Como o ângulo entre π 1 e p 1 é menor que o ângulo entre π 1 e p 2 , nosso plano é

p 1 :   x + 3 y - 6 z = 0

Resposta

x + 3 y - 6 z = 0

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