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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 26

Obtenha os pontos da reta r : x = 2 - y = y + z que distam sqrt(6) do plano pi : x - 2 y - z = 1 .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar um ponto genérico de r beleza?

Temos

{[[x = 2 - y],[2 - y = y + z]])

Da primeira equação, temos

x = 2 - y

E da segunda:

z = 2 - 2 y

Então nossa reta tem esse formato olha:

(x , y , z) = ( 2 - y , y , 2 - 2 y )

r : X = (2 , 0 , 2) + lambda (- 1 , 1 , - 2)

Portanto, um ponto genérico da reta r é P = (2 - lambda , lambda , 2 - 2 lambda) .

Passo 2

Sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e , f , g ) e um plano pi ' : a x + b y + c z + d = 0 é

d (B , pi ') = (|a . e + b . f + c . g + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c ²))

No nosso caso, o ponto é P = (2 - lambda , lambda , 2 - 2 lambda) , o plano é x - 2 y - z - 1 = 0 e queremos que a distância seja sqrt(6) .

Então vamos lá:

sqrt(6) = (|1 . (2 - lambda) - 2 lambda - 1 . (2 - 2 lambda) - 1|)/(sqrt(1^2 + (- 2)^2 + ( - 1 ) ²))

sqrt(6) = (|2 - lambda - 2 lambda - 2 + 2 lambda - 1|)/(sqrt(6))

|- lambda - 1| = sqrt(6) . sqrt(6)

|- lambda - 1| = 6

Então temos duas soluções. A primeira é

- lambda^' - 1 = 6

lambda^' = - 7

E a segunda:

- lambda^(' ') - 1 = - 6

lambda^(' ') = 5

Passo 3

Substituindo os valores de lambda que encontramos no ponto genérico P , temos

P = (2 - lambda , lambda , 2 - 2 lambda)

P ' = (9 , - 7 , 16)

P^(' ') = (- 3 , 5 , - 8)

Resposta

P ' = (9 , - 7 , 16)

P^(' ') = (- 3 , 5 , - 8)

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