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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.5 - Ex. 75

Determine o domínio e a imagem da função

g (x) = sin^(- 1) ( 3 x + 1 )

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O domínio e a imagem são conceitos importantes associados a funções matemáticas. Vamos defini-los:

1. Domínio:

- O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (ou valores de x

) para os quais a função está definida. Em outras palavras, são os valores que você pode substituir para x na função.

2. Imagem:

- A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída (ou valores de y ) que a função pode produzir para os valores no domínio.

Passo 2

Veja que aqui temos a função arcoseno, vamos passar para a função seno:

sin g ( x ) = 3 x + 1

Sabemos que a função seno é limitada - 1 <= sin g ( x ) <= 1 .

Dito isso, o dominio de nossa função é então:

D o m (g) = {x,- 1 <= 3 x + 1 <= 1} = {x,- 2 <= 3 x <= 0} = {x,- (2)/(3) <= x <= 0}

D o m (g) = [- (2)/(3) , 0]

A imagem, sabemos que y pode ser qualquer ângulo, então, se pensarmos na circunferência trigonométrica, ficamos com

I m (g) = {y,- (pi)/(2) <= y <= (pi)/(2)}

I m (g) = [- (pi)/(2) , (pi)/(2)]

Resposta

D o m (g) = [- (2)/(3) , 0]

I m (g) = [- (pi)/(2) , (pi)/(2)]

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