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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 3

Determine os domínios e as imagens de f , g , f // g , g // f

f (x) = 2

g (x) = x^2 + 1

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar as funções compostas e depois o domínio e a imagem de cada uma delas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x que satisfazem a nossa f ( x ) . Isto é, faz com que f ( x ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( x ) , para cada valor de x .

O domínio da função f // g e g // f consiste na interseção dos domínios da função f e g e o denominador deve ser diferente de 0, visto que não existe divisão por 0. Em outras palavras, isto é:

D_f // g = D_f nn D_g e g ( x ) != 0

D_g // f = D_f nn D_g e f ( x ) != 0

Já o valor da imagem será analisado caso a caso.

Passo 2

A função f consiste em uma função constante. O seu domínio consiste nos números reais. E, para todo número pertencente aos números reais, o valor de f ( x ) será igual a 2. Logo, a imagem é somente o número 2.

Passo 3

A função g (x) = x^2 + 1 consiste em um polinômio de grau 2. Toda função polinomial possui como domínio os números reais. Além disto, esta função possui ponto de mínimo global quando x = 0 , e consequentemente, f (x) = 1 . Depois disto, a função cresce até o infinito. Portanto, a imagem da função consiste no intervalo [ 1 , oo ] .

Passo 4

Como a função g ( x ) não possui nenhum valor de x tal que g (x) = 0 , o domínio da função f // g consiste na interseção dos domínios das funções f e g . Consequentemente:

D_f + g = R

Já a imagem, à medida em que x se afasta da origem, isto é, x ≫ 0 ou x ≪ 0 , o valor de f // g decresce e tende a 0. O máximo ocorre quando x = 0 , o que implica em (f (0))/(g (0)) = 2 . Portanto, a imagem é o intervalo ( 0,2 ] .

Passo 5

Como a função f ( x ) não possui nenhum valor de x tal que f (x) = 0 , o domínio da função g // f consiste na interseção dos domínios das funções f e g . Consequentemente:

D_g // f = R

Já a imagem, à medida em que x se afasta da origem, isto é, x ≫ 0 ou x ≪ 0 , o valor de g // f cresce e tende ao infinito. O mínimo ocorre quando x = 0 , o que implica em (g (0))/(f (0)) = 1 // 2 . Portanto, a imagem é o intervalo [ 1 // 2 , oo ) .

Resposta

Função f ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: y = 2

    • Função g ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: [ 0 , oo ) .

    • Função f ( x ) // g ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: ( 0,2 ] .

    • Função g (x) // f ( x ) :

  • Domínio Números reais;
  • Imagem: [ 1 // 2 , oo )
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Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.](a) f x = 3 sen ⁡ x 2 (b) f x = 3 sen 2 ⁡ x + 4 s e n ⁡ ( x )
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Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.](a) f x = 1 1 - x 2 (b) f x = 5 + 2 x
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O domínio de f + g é a interseção dos domínios de f e de g.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O domínio de f ∘ g consiste em todos os valores de x no domínio de g nos quais g x ≠ 0 .