Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 3

Determine os domínios e as imagens de , , ,

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar as funções compostas e depois o domínio e a imagem de cada uma delas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de que satisfazem a nossa . Isto é, faz com que exista;
A imagem é o conjunto de todos os valores de , para cada valor de .

O domínio da função e consiste na interseção dos domínios da função e e o denominador deve ser diferente de 0, visto que não existe divisão por 0. Em outras palavras, isto é:

Já o valor da imagem será analisado caso a caso.

Passo 2

A função consiste em uma função constante. O seu domínio consiste nos números reais. E, para todo número pertencente aos números reais, o valor de será igual a 2. Logo, a imagem é somente o número 2.

Passo 3

A função consiste em um polinômio de grau 2. Toda função polinomial possui como domínio os números reais. Além disto, esta função possui ponto de mínimo global quando , e consequentemente, . Depois disto, a função cresce até o infinito. Portanto, a imagem da função consiste no intervalo .

Passo 4

Como a função não possui nenhum valor de tal que , o domínio da função consiste na interseção dos domínios das funções e . Consequentemente:

Já a imagem, à medida em que se afasta da origem, isto é, ou , o valor de decresce e tende a 0. O máximo ocorre quando , o que implica em . Portanto, a imagem é o intervalo .

Passo 5

Como a função não possui nenhum valor de tal que , o domínio da função consiste na interseção dos domínios das funções e . Consequentemente:

Já a imagem, à medida em que se afasta da origem, isto é, ou , o valor de cresce e tende ao infinito. O mínimo ocorre quando , o que implica em . Portanto, a imagem é o intervalo .