Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.]

(a) f(x) = 3 * sen(x^2)

(b) f(x) = 3 * sen^2(x) + 4 * sen(x)

Passo 1

A ideia aqui é pensar quais contas a gente faz quando precisamos saber o valor da função em um ponto específico. E, então, associamos cada etapa a uma função diferente. Vamos ver melhor na prática!

Passo 2

(a) Em f x = 3 sen ⁡ x 2 , se tivermos um valor x = 0 , por exemplo, quais contas faríamos para chegar no valor da função nesse ponto, isto é, em f ( 0 ) ?

Primeiro, acharíamos o valor de 0 2 . Depois, faríamos 3 vezes o seno do o resultado anterior, certo?

Então, são duas etapas: primeiro, passamos pelo x 2 e depois pelo triplo do seno desse cara, certo?

Podemos, então, associar essas etapas a duas funções que façam o mesmo:

g x = x 2

E

h x = 3 s e n ⁡ ( x )

Dessa forma, f ( x ) pode ser escrita como:

f x = 3 sen ⁡ g x

Associando h :

f x = h g x

Ou seja:

f x = h ∘ g

Passo 3

(b) E em f x = 3 sen 2 ⁡ x + 4 s e n ⁡ ( x ) ? Pelo mesmo raciocínio da letra anterior: primeiro, acharíamos o valor de sen ⁡ x e depois jogaríamos o resultado na expressão 3 x 2 + 4 x , certo?

Então, podemos associar a essas duas funções:

g x = s en ⁡ x

E

h x = 3 x 2 + 4 x

Dessa forma, f ( x ) pode ser escrita como:

f x = 3 g x 2 + 4 g ( x )

Associando h :

f x = h g x

Ou seja:

f x = h ∘ g

Resposta

(a) h ∘ g , h x = 3 s e n ⁡ ( x ) e g x = x 2

(b) h ∘ g , h x = 3 x 2 + 4 x e g x = s en ⁡ x

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