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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 67

  1. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação x = cos ⁡ x tem, pelo menos, uma solução no intervalo 0 , π 2 .
  2. Mostre graficamente que há exatamente uma solução no intervalo.
  3. Aproxime a solução com três casas decimais de precisão.

Passo 1

  1. Primeiro vamos fazer:

    2. g x = x - cos ⁡ x

    Agora vamos achar os valores de g 0 e g π 2 :

    g 0 = x - cos ⁡ x = 0 - cos ⁡ 0 = - 1

    g π 2 = x - cos ⁡ x = π 2 - cos ⁡ π 2 = π 2 - 0 = π 2

    Assim, temos que como g x é uma função contínua, pelo Teorema do Valor Médio, existe um valor c entre 0 e π 2 onde g c = 0 , o que implica que existe um c no intervalo 0 , π 2 .

    Passo 2

  2. Vamos plotar as duas equações:

    3. y = x e y = cos ⁡ x

    Pronto, dá pra ver pelo gráfico que as duas curvas se interceptam em apenas um ponto.

    Passo 3

  3. Pelo gráfico sabemos que a raiz está entre 0 e 1 , vamos então dividir o intervalo em 10 intervalors iguais e avaliar g nos pontos finais:

O valor de g x muda de sinal de 0,7 para 0,8 , e pelo Teorema do Valor Médio, existe um c no intervalo 0.7,0.8 tal que g c = 0 .

Agora vamos dividir esse novo intervalo em 10 partes iguais feito o que acabamos de fazer:

Agora g x muda de sinal de 0,7 3 para 0 , 74 , e pelo Teorema do Valor Médio, existe um c no intervalo 0.7 3 , 0 . 74 tal que g c = 0 .

Vamos dividir esse novo intervalo em 10 partes iguais:

Aqui g x muda de sinal de 0,73 9 para 0,74 , e pelo Teorema do Valor Médio, existe um c no intervalo 0.73 9 , 0.74 tal que g c = 0 .

Para achar o valor aproximado vamos tirar a média dos valores do intervalo:

0,739 + 0,74 2 = 0,73 9

Resposta

  2. 0,73 9
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