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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 15

Encontre a derivada usando a Fórmula (18) e verifique sua resposta calculando a integral e depois diferenciando.

(a) d d x ∫ 1 x 3 1 t d t

(b) d d x ∫ 1 ln ⁡ x e t d t

Passo 1

(a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a g x f t d t = f g x g ' ( x )

Então:

d d x ∫ 1 x 3 1 t d t = 1 x 3 x 3 ' = 1 x 3 ( 3 x 2 )

∴

d d x ∫ 1 x 3 1 t d t = 3 x

Passo 2

Agora, vamos conferir calculando a integral e depois derivando o resultado:

∫ 1 x 3 1 t d t = ln ⁡ t 1 x 3 = ln ⁡ x 3 - ln ⁡ 1

∫ 1 x 3 1 t d t = 3 ln ⁡ x

Derivando:

d d x ∫ 1 x 3 1 t d t = 3 x

Opa, tudo certo, os resultados bateram!!

Passo 3

(b) Mesma coisa aqui:

d d x ∫ 1 ln ⁡ x e t d t = e ln ⁡ x 1 x = x x = 1

Passo 4

Conferindo, calculando a integral e depois derivando o resultado:

∫ 1 ln ⁡ x e t d t = e t 1 ln ⁡ x = e ln ⁡ x - e 1 = x - e 1

Derivando:

d d x ∫ 1 ln ⁡ x e t d t = 1

Tudo certo, os resultados bateram!!

Resposta

(a) 3 x

(b) 1

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