Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 63
Determine a equação do plano que intercepta o eixo em , o eixo em e o eixo em .
Passo 1
Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele e um vetor normal ? A equação do plano é:
Um ponto que pertença ao plano, aqui, pode ser o primeiro que o enunciado fala, o que corta o eixo (portanto ) em . Então esse ponto vai ser .
Passo 2
Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Outros dois pontos que pertencem a esse plano e são mencionados no enunciado são e . A partir desses pontos, juntando com o ponto usado no passo anterior , vamos determinar dois vetores. Esses dois vetores pertencem ao plano, são paralelos a ele.
Tá, e como fazer pra achar um vetor normal ao plano, não paralelo? Fazendo o produto vetorial entre eles! Show! Mas calma, vamos primeiro achar esses vetores que pertencem ao plano, para no próximo passo fazer o produto vetorial entre eles!
Primeiro vetor:
Segundo vetor:
Passo 3
Já que temos os dois vetores paralelos ao plano, vamos fazer o produto vetorial entre eles e determinar o vetor que seja ortogonal ao plano:
Assim o vetor normal ao plano vai ser:
Beleza?
Passo 4
Agora dá uma espiada no Passo e relembra a equação do plano:
Mas não vai confundir! Aqui são as coordenadas do vetor normal ao plano e são as coordenadas do ponto que pertence ao plano.
No nosso caso o vetor é e vou escolher como ponto . (vale para qualquer ponto viu! Desde que ele pertença ao plano, tá beleza!)
Agora é só substituir na fórmula da equação geral do plano:
Temos assim:
Agora vou dividir a equação dos dois lados por :
E essa aqui é outra forma de escrever a equação de um plano!