Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 21
Uma força com módulo age diretamente no sentido ascendente a partir do plano em um objeto com massa . O objeto começa na origem com velocidade inicial . Determine sua função posição e sua velocidade escalar no instante .
Passo 1
Olá, tudo bem?
Nessa questão nós sabemos a força atuante em um corpo com uma dada massa e queremos obter sua posição e sua velocidade escalar no instante .
Você lembra que a força está relacionada com a aceleração, certo? Assim ó:
Então, uma vez que sabemos a força e a massa, podemos calcular a aceleração.
Passo 2
Se a força está na direção ascendente a partir do plano , ou seja, na direção positiva de :
Assim a aceleração também vai ser na direção positiva do eixo :
Sabemos que a aceleração é a taxa de variação temporal do vetor velocidade, ou seja,
Sendo assim, se multiplicarmos dos dois lados por teremos:
Se integrarmos dos dois lados vamos ter uma função da velocidade em função do tempo:
A constante pode ser calculada com a condição inicial da velocidade. No instante a velocidade é . Agora é só substituir:
Assim a velocidade em função do tempo é:
Mas presta atenção! O problema pede a velocidade ESCALAR! A velocidade que acabamos de achar é vetorial. Bom, pra achar o módulo dela, basta aplicar a fórmula do módulo de um vetor qualquer:
Para o vetor velocidade:
Beleza! Vamos para a posição?
Passo 3
O problema pede a função posição em função do tempo! Daí temos que lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo e esse intervalo de tempo é bem pequenininho, dizemos que a velocidade é a derivada temporal da posição:
Já que temos a função da velocidade, vamos integrar dos dois lados e obter uma expressão pra :
A constante que aparece no lado direito é a constante de integração. Como a partícula parte da origem no instante inicial então essa constante é zero:
Assim a equação pra posição vai ser:
Certo? Vamos pra próxima?