Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 38
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente.
Passo 1
Faaaaaala galerinha, tudo bem? Bora lá!
Nesse exercício precisamos determinar a equação do plano tangente a superfície parametrizada a seguir, e depois desenhar a superfície e o plano tangente nos pontos dados.
Muita calma, precisamos lembrar de algumas fórmulas. Beleza!?
Se você reparar e comparar com outros parametrização, vai perceber que é clássico esse estilo de parametrização. Onde chamamos e .
Vamos lembrar, que para obter um plano tangente para uma superfície parametrizada desse estilo, onde temos um vetor, devemos aplicar:
Onde, é ponto que queremos calcular. No nosso caso ele deu .
Muito atenção em uma coisa, para aplicar em devemos achar o valor de e .
Da equação paramétrica, sabemos que:
Sabendo que , vamos ter:
Já, é o produto vetorial entre a derivada de em relação a e , também aplicado no ponto
Depois que você fizer isso, é substituir na equação do plano tangente e resolver o produto escalar, ai vai ter a expressão do plano tangente.
Já para plotar os gráficos, devemos utilizar algum software conforme recomendação do livro. Você pode utilizar algum de sua preferência, porém aqui vamos utilizar o Geogebra 3D.
Depois desse bizu, vamos colocar mão na masssa!!!
Passo 2
Que tal começar determinando a expressão do plano tangente!?
Mas antes vamos precisar calcular o produto vetorial .
Vamos começar derivando em relação a .
Derivando vamos ter:
Aplicando no ponto temos:
Agora, vamos derivar em relação a .
Derivando vamos ter:
Aplicando no ponto temos:
Passo 3
Agora que encontramos e :
Vamos aplicar o produto vetorial:
Vamos escrever na forma matricial:
Resolvendo esse determinante, vamos ter:
Agora, vamos substituir na equação do plano tangente os valores:
Sabemos que:
Substituindo, temos:
Resolvendo, ficamos com:
Que de forma reduzida ficará:
Portanto essa é a equação do plano tangente:
Passo 4
Agora, vamos fazer um esboço da superfície parametrizada e do plano tangente.
Para isso, vamos utilizar o Geogebra 3D. Logo, temos:
Resposta
