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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 40

A parte do plano com equação vetorial

r u , v = { u + v , 2 - 3 u , 1 + u - v } que é dada por 0 ≤ u ≤ 2   ,   - 1 ≤ v ≤ 1

Passo 1

Primeiramente calcularemos as derivadas parciais do vetor r .

r u , v = { u + v , 2 - 3 u , 1 + u - v }

r v = ∂ ( u + v ) ∂ v i ⃑ + ∂ ( 2 - 3 u ) ∂ v j ⃑ + ∂ ( 1 + u - v ) ∂ v k ⃑

r v = 1 i ⃑ + 0 j ⃑ - 1 k ⃑ = ( 1,0 , - 1 )

r u = ∂ ( u + v ) ∂ u u o , v o i ⃑ + ∂ ( 2 - 3 u ) ∂ u u o , v o j ⃑ + ∂ ( 1 + u - v ) ∂ u u o , v o k ⃑

r u = 1 i ⃑ - 3 j ⃑ + 1 k ⃑ = ( 1 , - 3,1 )

Logo r u × r v = ( 1,0 , - 1 )   × ( 1 , - 3,1 )

r u × r v = ( - 3 , - 2 , - 3 )

Passo 2

Utilizando a definição 6, e visualizando que a superfície parametrizada é suave (não tem descontinuidade), nós teremos:

A s = ∬ r u × r v d u d v

r u × r v = - 3 , - 2 , - 3 = √ 22

A s = ∬ 22 d u d v =

= 22 ∫ 0 2 d u ∫ 1 1 d v = 22 ( 2 ) ( 2 ) = 4 22

Resposta

A s = 4 √ 22

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