Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superfície e o plano tangente.

r(u, v) = u^2 * i + 2u * sen(v) * j + u * cos(v) * k; u = 1 e v = 0

Passo 1

E aiii minha turma, beleza!?

Nessa questão temos que determinar a equação do plano tangente a superfície parametrizada a seguir, e depois desenhar a superfície e o plano tangente nos pontos dados.

r u , v = u 2 i ⃑ + 2 u s e n v j ⃑ + u c o s v k ⃑ ; u = 1   ,   v = 0

Vamos com calma, precisamos lembrar de algumas formulas aqui.

Esse estilo de parametrização é clássico, aquele que clamamos u = x e v = y .

Para obter um plano tangente para uma superfície parametrizada desse estilo, onde temos um vetor, devemos aplicar:

x , y , z - x 0 , y 0 , z 0   . r u × r v = 0

Onde, x 0 , y 0 , z 0 é ponto que queremos calcular. No nosso caso ele deu ( 1,0 , 0 ) .

Já, r u × r v é o produto vetorial entre a derivada de r em relação a u e v , também aplicado no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Feito isso, é substituir na equação acima, resolver o produto escalar e obter a expressão do plano tangente.

Para plotar os gráficos, devemos utilizar algum software conforme recomendação do livro. Você pode utilizar algum de sua preferência, porém aqui vamos utilizar o Geogebra 3D.

Vamos nessa então!!!

Passo 2

Vamos começar determinando a expressão do plano tangente.

x , y , z - x 0 , y 0 , z 0   . r u × r v = 0

Porém, antes vamos precisar calcular o produto vetorial r u × r v .

Vamos começar derivando r em relação a u .

r u = ∂ ( u 2 ) ∂ u i ⃑ + ∂ ( 2 u   s e n v ) ∂ u j ⃑ + ∂ ( u cos ⁡ v ) ∂ u k ⃑

Derivando vamos ter:

r u = 2 u   i ⃑ + 2   s e n   v j ⃑ + cos ⁡ v k ⃑

Aplicando no ponto ( 1,0 , 0 ) temos:

r u = 2 1 i ⃑ + 2   s e n   0 j ⃑ + cos ⁡ 0 k ⃑

r u = 2 i ⃑ + 0 j ⃑ + 1 k ⃑

Agora, vamos derivar r em relação a v .

r v = ∂ ( u 2 ) ∂ v i ⃑ + ∂ ( 2 u   s e n v ) ∂ v j ⃑ + ∂ ( u cos ⁡ v ) ∂ v k ⃑

Derivando vamos ter:

r v = 0   i ⃑ + 2 u cos ⁡ v j ⃑ - u s e n   v k ⃑

Aplicando no ponto ( 1,0 , 0 ) temos:

r v = 0   i ⃑ + 2 ( 1 ) cos ⁡ 0 j ⃑ - ( 1 ) s e n   0 k ⃑

r v = 0 i ⃑ + 2 j ⃑ + 0 k ⃑

Passo 3

Agora que encontramos r u e r v :

r u = 2 i ⃑ + 0 j ⃑ + 1 k ⃑

r v = 0 i ⃑ + 2 j ⃑ + 0 k ⃑

Vamos aplicar o produto vetorial:

r u × r v

Vamos escrever na forma matricial:

r u × r v = i ⃑ j ⃑ k ⃑ 2 0 1 0 2 0

Resolvendo esse determinante, vamos ter:

r u × r v = 4 k ⃑ - 2 i ⃑

Agora, vamos substituir na equação do plano tangente os valores:

x , y , z - x 0 , y 0 , z 0   . r u × r v = 0

Sabemos que:

x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,0 , 0 )

Substituindo, temos:

x , y , z - 1,0 , 0   . - 2,0 , 4 = 0

Resolvendo, ficamos com:

- 2 x - 1 + 0 y - 0 4 z - 1 = 0

Que de forma reduzida ficará.

- x + 2 z = 1

Portanto essa é a equação do plano tangente.

Passo 4

Agora vamos fazer um esboço da superfície parametrizada e do plano tangente.

r u , v = u 2 i ⃑ + 2 u s e n v j ⃑ + u c o s v k ⃑

- x + 2 z = 1

Para isso, vamos utilizar o Geogebra 3D. Logo, temos:

Resposta

- x + 2 z = 1

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