Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 2
Determine uma equação do plano tangente a superfície no ponto especificado.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função de uma superfície:
Queremos determinar uma equação do plano tangente dessa superfície no ponto .
Mas como a gente pode determinar essa equação???
Para isso, temos a seguinte fórmula geral para uma equação do plano tangente a uma superfície no ponto :
Dessa forma, podemos inferir que:
Assim, só nos resta calcular as derivadas parciais e !!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiramente vamos derivar em função de , fixando o valor de como constante.
Aplicando a derivada da soma, obtemos:
Como a derivada de uma constante é zero, nos restam:
Resolvendo a derivada, aplicando a Regra da Potência, temos:
Essa é a nossa derivada!!! Mas para ficar melhor na hora de substituirmos na fórmula lá do Passo 1, vamos aplicar logo o ponto dado:
Agora vamos fazer a mesma coisa para .
Passo 3
Agora vamos derivar em função de , fixando o valor de como constante.
Aplicando a derivada da soma, obtemos:
Como a derivada de uma constante é zero, nos restam:
Resolvendo a derivada, aplicando a Regra da Potência, temos:
Essa é a nossa derivada!!! Mas para ficar melhor na hora de substituirmos na fórmula lá do Passo 1, vamos aplicar logo o ponto dado:
Passo 4
Agora vamos substituir na fórmula:
Logo a equação do plano tangente será igual a:
Isolando , teremos:
Simples não? Só pegar a lógica das diferenciais em cada direção e multiplicar por .
E perceber que será igual a .