Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 11

Determine a área da superfície.

A parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .

Passo 1

E aí, galera bonita! Tudo certinho?

A questão pede pra gente achar a área da superfície da parte da esfera:

que está dentro do cilindro

e acima do plano .

A área da superfície com a equação é:

Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:

: derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
: derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.

E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Como o cruzamento da esfera e do cilindro será uma circunferência, vamos expressar em termos de coordenadas polares nossa integral.

Lembrando também que:

Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.

Bora!

Passo 2

A equação da esfera pode ser reescrita como

Assim temos que derivando em relação a , tratamos o termo de como constante:

E Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.

Escrevendo o termo da nossa integral:

Temos:

Passo 3

O Domínio é definido dentro do cilindro e acima do plano , que é o plano . ou seja

Para coordenadas polares temos que:

Substituindo, temos:

Então:

Então nossa variação de é:

Aqui temos uma equação de circunferência, vamos completar quadrados para nossos valores de raio e centro da circunferência fiquem mais fáceis da gente identificar:

Ficamos com:

Ou seja, temos um cilindro deslocado na direção com centro em e . Desta forma temos que varia somente na parte positiva de , ou seja

Ficamos então com:

Passo 2

Vamos resolver nossa integral, começando pela integral de dentro:

Fazendo

Derivando :

Logo temos:

Aplicando os limites de integração:

Agora vamos resolver a integral que restou. Usando o fato de ser uma função par, podemos a partir do teorema fundamental do calculo usar a simetria do problema e calcularmos metade do intervalo de integração e multiplicar por 2 esse resultado: