Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 11
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Passo 1
E aí, galera bonita! Tudo certinho?
A questão pede pra gente achar a área da superfície da parte da esfera:
que está dentro do cilindro
e acima do plano .
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Como o cruzamento da esfera e do cilindro será uma circunferência, vamos expressar em termos de coordenadas polares nossa integral.
Lembrando também que:
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Bora!
Passo 2
A equação da esfera pode ser reescrita como
Assim temos que derivando em relação a , tratamos o termo de como constante:
E Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.
Escrevendo o termo da nossa integral:
Escrevendo o termo da nossa integral:
Temos:
Passo 3
O Domínio é definido dentro do cilindro e acima do plano , que é o plano . ou seja
Para coordenadas polares temos que:
Substituindo, temos:
Então:
Então nossa variação de é:
Aqui temos uma equação de circunferência, vamos completar quadrados para nossos valores de raio e centro da circunferência fiquem mais fáceis da gente identificar:
Ficamos com:
Ou seja, temos um cilindro deslocado na direção com centro em e . Desta forma temos que varia somente na parte positiva de , ou seja
Ficamos então com:
Passo 2
Vamos resolver nossa integral, começando pela integral de dentro:
Fazendo
Derivando :
Logo temos:
Aplicando os limites de integração:
Agora vamos resolver a integral que restou. Usando o fato de ser uma função par, podemos a partir do teorema fundamental do calculo usar a simetria do problema e calcularmos metade do intervalo de integração e multiplicar por 2 esse resultado:
Como:
Separando a subtração dentro da integral numa subtração de integral, temos:
Integrando:
Então, nossa área de superfície é: