Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f(x, y, z) = y^2 * z^3 + 3yz

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos pede para encontrar as derivadas de primeira ordem da função (nesse caso f x , f y e f z , uma para cada variável)

f x , y , z = x y 2 z 3 + 3 y z

mas como fazemos isso?

É de boa: Para encontrar a derivada f x , por exemplo, nós tratamos y e z como constantes e derivamos a função f em x normalmente!

Passo 2

Para encontrar f x tratamos y e z como constantes e derivamos a função f em x !

De forma que temos:

f x = x y 2 z 3 + 3 y z

∂ f ∂ x = d   ( x y 2 z 3 + 3 y z ) d x

De forma que

∂ f ∂ x = y 2 z 3 + 0

f x = y 2 z 3

Passo 3

Da mesma forma, para encontrar f y tratamos x e z como constantes e derivamos a função f em y !

De forma que temos

f y = x y 2 z 3 + 3 y z

∂ f ∂ y = d   ( x y 2 z 3 + 3 y z ) d y

De forma que

∂ f ∂ y = 2 x y z ³ + 3 z

f y = 2 x y z ³ + 3 z

Passo 4

E por último, da mesma forma que antes, para encontrar f z tratamos y e x como constantes e derivamos a função f em z !

De forma que temos

f z = x y 2 z 3 + 3 y z

∂ f ∂ z = d   ( x y 2 z 3 + 3 y z ) d z

De forma que

∂ f ∂ z = 3 x y 2 z 2 + 3 y

f z = 3 x y 2 z 2 + 3 y

Resposta

f x = y 2 z 3

f y = 2 x y z ³ + 3 z

f z = 3 x y 2 z 2 + 3 y

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