Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 8
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Faaala galera! Tudo certo? Nessa questão nós temos a função
e queremos determinar os seus valores máximos e mínimos locais, além de pontos de sela (se existirem).
A sequência que vamos seguir é a seguinte: primeiro nós calcularemos os pontos críticos de , depois iremos determinar se eles são pontos de máximo, mínimo ou sela, beleza?
Como podemos obter os pontos de máximo e mínimo? Fazemos o que sabemos para uma variável: se temos uma função e queremos saber o valor máximo de , devemos calcular a sua derivada e igualar a zero. Se existir um onde , o valor extremo de será
Para duas variáveis nós vamos fazer parecido, mas devemos exigir que e se anulem, ou seja,
Em resumo, se possui um máximo ou mínimo local em e as derivadas parciais de primeira ordem existem, então e .
Passo 2
Para determinar se o ponto é de máximo, mínimo ou sela não basta conhecer as derivadas, temos que usar um critério para isso.
Para uma variável nós usávamos o teste da derivada segunda. Para duas variáveis, vamos fazer algo parecido, mas da seguinte forma.
Seja o seguinte determinante
Então:
Além disso, pelo teorema de Clairaut: .
Portanto,
Os critérios são:
Se e , então é um mínimo local.
Se e , então é um máximo local.
Se , então não tem máximo nem mínimo local e é dito um ponto de sela.
Agora estamos prontos para responder a questão. Vamos lá!
Passo 3
Nosso trabalho agora é determinar as derivadas para obter os pontos em que elas se anulam.
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Da segunda equação tiramos
Da primeira, como , devemos ter . Portanto, o único ponto crítico é:
Passo 4
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante será
Logo,
Repare que é sempre negativo, então, pelo terceiro critério, nós temos um ponto de sela em !