Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 9
Ache as equações dos planos em ortogonais ao vetor , que distam do ponto . Estes planos são subespaços de ? Caso afirmativo, encontre base(s) ortonormal (is) para ele(s).
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:
E também é necessário que e , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:
Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!
Passo 2
Também precisamos introduzir aqui a equação do plano da seguinte maneira:
Se considerarmos que a distância entre o ponto e o plano é a menor possível, é possível utilizar um vetor ortogonal que ligue um ponto no plano à um ponto que está a distância de . Você pode pensar como se houvesse um vetor de módulo , por exemplo:
que começa em um ponto que pertence ao plano e aponta até o ponto . Isso é possível se considerarmos 2 planos, um que passe pela origem, , e outro que passe pelo ponto . Da definição (3), identificando que o vetor normal ao plano tem componentes , temos:
Note que se o plano contém a origem, temos a seguinte equação:
e a equação toma a forma:
e se ele contém o ponto , temos:
e a equação toma a forma:
Apenas a equação (4) representa um subespaço, pois apenas ela contém o elemento neutro, a origem em nosso caso! Vamos trabalhar em achar uma base para esse plano, beleza?
Passo 3
Temos apenas a equação (4) e três parâmetros para encontrar, então vamos deixar dois deles livres, da seguinte maneira, , e , de forma que:
e, portanto, temos que:
que pode ser expandida em termos dos parâmetros como:
Os nossos vetores de base linearmente independentes são da forma, e . No entanto, eles precisam ser ortogonais e normalizados, para isso vamos calcular as normas e checar se eles são ortogonais, beleza?
Passo 4
Para calcular a norma precisamos da definição (2), obtendo para cada um deles, o seguinte:
e também:
E para checar se são ortogonais, precisamos aplicar a definição (1):
Portanto, não são ortogonais, nem normalizados, precisamos resolver isso. Uma boa forma é através do método de ortogonalização de Gram-Schmidt, saca só!
Passo 5
Vamos estabelecer o seguinte, e . Como nenhum deles é ortogonal podemos utilizar o método de Gram-Schmidt para calcular a nossa base ortogonal e para para isso vou introduzir a definição:
que é a projeção ortogonal de um vetor qualquer em um vetor não nulo , e portanto, podemos formar uma base ortogonal encontrando sucessivos vetores tais que se:
temos que:
Vamos encontrar então a nossa base, bora bora!
Passo 6
Temos que:
e portanto, temos que:
calculando também que:
Portanto, temos que:
Portanto, nossa base é tal que . Vamos normalizá-la, e o problema acabou!
Passo 7
Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:
Portanto, temos que:
temos também que:
Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!