Ache as equações dos planos em ortogonais ao vetor , que distam do ponto . Estes planos são subespaços de ? Caso afirmativo, encontre base(s) ortonormal (is) para ele(s).

Também precisamos introduzir aqui a equação do plano da seguinte maneira:

Se considerarmos que a distância entre o ponto e o plano é a menor possível, é possível utilizar um vetor ortogonal que ligue um ponto no plano à um ponto que está a distância de . Você pode pensar como se houvesse um vetor de módulo , por exemplo:

que começa em um ponto que pertence ao plano e aponta até o ponto . Isso é possível se considerarmos 2 planos, um que passe pela origem, , e outro que passe pelo ponto . Da definição (3), identificando que o vetor normal ao plano tem componentes , temos:

Note que se o plano contém a origem, temos a seguinte equação:

e a equação toma a forma:

e se ele contém o ponto , temos:

e a equação toma a forma:

Apenas a equação (4) representa um subespaço, pois apenas ela contém o elemento neutro, a origem em nosso caso! Vamos trabalhar em achar uma base para esse plano, beleza?

Temos apenas a equação (4) e três parâmetros para encontrar, então vamos deixar dois deles livres, da seguinte maneira, , e , de forma que:

e, portanto, temos que:

que pode ser expandida em termos dos parâmetros como:

Os nossos vetores de base linearmente independentes são da forma, e . No entanto, eles precisam ser ortogonais e normalizados, para isso vamos calcular as normas e checar se eles são ortogonais, beleza?

Para calcular a norma precisamos da definição (2), obtendo para cada um deles, o seguinte:

e também:

E para checar se são ortogonais, precisamos aplicar a definição (1):

Portanto, não são ortogonais, nem normalizados, precisamos resolver isso. Uma boa forma é através do método de ortogonalização de Gram-Schmidt, saca só!

Vamos estabelecer o seguinte, e . Como nenhum deles é ortogonal podemos utilizar o método de Gram-Schmidt para calcular a nossa base ortogonal e para para isso vou introduzir a definição:

que é a projeção ortogonal de um vetor qualquer em um vetor não nulo , e portanto, podemos formar uma base ortogonal encontrando sucessivos vetores tais que se:

temos que:

Vamos encontrar então a nossa base, bora bora!

Temos que:

e portanto, temos que:

calculando também que:

Portanto, temos que:

Portanto, nossa base é tal que . Vamos normalizá-la, e o problema acabou!

Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:

Portanto, temos que:

temos também que:

Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!