Encontre a soma da série.

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Passo 1

Fala, time! Tudo firmeza?

Quando temos série de Taylor, que é o caso da nossa série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

A soma da série pode ser escrita como uma função f x que está sendo representada aqui como uma soma infinita de termos. No nosso caso temos uma série de Maclaurin (série de Taylor com a = 0 ).

A ideia aqui então é manipularmos essa série e procurar nas nossas séries de Maclaurin para as funções mais comuns que o nosso livro dá e tentarmos entender qual função foi usada para gerar essa série de Maclaurin.

Vamos pro nosso passo a passo!

Passo 2

Para calcular essa soma, vamos manipular até que reconheçamos a série como uma série de Taylor.

Neste caso podemos juntar as potencias de 2 n + 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( π / 4 ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Agora temos uma série no formato da série do seno

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Então temos que a nossa série vale

∑ n = 0 ∞ - 1 n ( π / 4 ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = sen ⁡ ( π / 4 ) = 2 2

Resposta

sen ⁡ ( π / 4 ) = 2 2

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