Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.3 - Ex. 24
Determine a curvatura de no ponto (1, 0, 0)
Passo 1
Olá, meu querido. Vamos resolver essa atividade?
A gente tem a curva parametrizada:
E precisamos encontrar a curvatura:
No ponto:
Primeiramente devemos obter a primeira e segunda derivadas da curva . Depois iremos substituir na fórmula.
Para derivarmos uma curva parametrizada, devemos derivar cada termos .
Passo 2
Realizando as derivações, precisaremos utilizar a regra do produto, pois temos aqui duas situações de produto de funções:
A regra do produto para derivadas é dada por:
Então derivando cada termos:
Substituindo então na derivada:
Passo 3
Agora a gente vai para a segunda derivada, teremos que derivar novamente a nossa função:
Vamos derivar então cada termo, veja que já derivamos todos os termos dessa derivada no passo anterior, basta substituirmos:
As segundas derivadas serão então:
Temos então que:
Observemos que para a função vetorial , no ponto (1, 0, 0) temos . Portanto, para esse valor de , temos:
Passo 4
Precisamos calcular o módulo do vetor tangente pois seu valor será usado depois para calcular a curvatura em .
Passo 5
Também é necessário obter o produto vetorial em . Para calcularmos o produto vetorial, podemos utilizar o determinante de uma matriz quadrada :
O módulo do produto vetorial calculado acima é:
Passo 6
Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula que apresentamos no passo 1, obtemos a curvatura da função vetorial dada.