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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 25

Encontre a curvatura de r t = ( t ,   t 2 ,   t 3 ) no ponto (1, 1, 1).

Passo 1

Olá pessoal! De boas?

Essa questão pede para determinar a curvatura da curva r t = ( t , t 2 , t ³ ) no ponto ( 1,1 , 1 ) .

Para resolver a questão podemos seguir os passos

  1. Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem em relação a t .
  2. Para calcular a curvatura temos que usar a seguinte equação

    3. k = r ' t   x   r ' ' t r ' ( t ) ³

    Perceba que para calcular a curvatura precisamos do produto vetorial ( r ' t   x   r ' ' t ) e o vetor tangente r ' ( t ) .

  3. Para calcular o vetor tangente unitário temos a equação

    4. r ' 1 = x ' ² + y ' ² + z ' ²

  4. Para calcular o produto vetorial

    5. r ' t × r ' ' t = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

  5. Por fim substituímos todos os dados na equação da curvatura.
  6. Substituimos o ponto mencionado no enunciado ( 1,1 , 1 ) , para obtermos o valor do tempo k .

Bora finalizar isso!

Passo 2

Primeiramente devemos obter a primeira e segunda derivadas da curva r ( t ) .

r ' t = ( 1 ,   2 t ,   3 t 2 )

r ' ' t = ( 0 ,   2 ,   6 t )

Observemos que para a função vetorial r ( t ) , no ponto (1, 1, 1) temos t = 1 . Portanto, para esse valor de t , temos:

r ' 1 = ( 1 ,   2 ,   3 )

r ' ' t = ( 0 ,   2 ,   6 )

Passo 3

Precisamos calcular o módulo do vetor tangente r ' ( 1 ) pois seu valor será usado depois para calcular a curvatura em t = 1 .

r ' 1 = 1 + 4 + 9 = 14

Passo 4

Também é necessário obter o produto vetorial r ' t × r ' ' ( t ) em t = 1 . Temos:

r ' t × r ' ' t = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

Temos r ' t = x 1 , y 1 , z 1 = 1,2 , 3 e r ' ' t = x 2 , y 2 , z 2 = ( 0,2 , 6 )

r ' 1 × r ' ' 1 = i j k 1 2 3 0 2 6

Desenvolvendo a matriz e calculando seu determinante.

r ' 1 × r ' ' 1 = 12 - 6 i - - 0 j + 2 - 0 k

r ' 1 × r ' ' 1 = ( 6 ,   - 6 ,   2 )

O módulo do produto vetorial calculado acima é:

r ' 1 × r ' ' 1 = 6 2 + - 6 2 + 2 2

r ' 1 × r ' ' 1 = 76

Passo 5

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k 1 = r ' t × r ' ' t r ' t 3

Substituindo os termos calculardos anteriormente

k 1 = 76 ( 14 ) 3

k 1 = 1 7 19 14

Resposta

k 1 = 1 7 19 14

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