Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 13.3 - Ex. 19
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos juntos resolver essa atividade.
A gente precisa encontrar os vetores tangentes e normal unitários da curva parametrizada:
Para isso, deveremos utilizar das seguintes fórmulas:
E
Então veja que precisaremos derivar a nossa equação da curva, encontrarmos o modulo dela e depois substituir na fórmula de . Com em mãos, poderemos prosseguir para .
Além disso, deveremos utilizar a fórmula :
Passo 2
O primeiro passo é calcular a derivada da curva dada. Temos:
O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:
Passo 3
O vetor tangente unitário é dado por:
Calculado o vetor unitário podemos obter sua derivada, precisaremos da regra do quociente aqui para derivarmos:
Passo 4
O módulo de deve ser calculado. Temos:
Colocando em termos de um produto notável:
Retirando a raiz:
Colocando em evidência para uma simplificação:
Simplificando:
Passo 5
Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário
Temos então a substituição dos valores que encontramos:
Reescrevendo a fração:
Realizando então os produtos e as simplificações possíveis:
Passo 6
O raio de curvatura é dado por
Substituindo:
Simplificando: