Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

r(t) = t_i + t_j + cosseno(t_k)

Passo 1

Fala galera. Tudo belezinha?

Vamos começar a resolver a questão!

Primeiro iremos analisar o enunciado. E através da função iremos esboçar o gráfico e mostrar a direção que o parâmetro cresce.

r t = t i + t j + c o s c o s   t k    

A partir das derivadas iremos substituir diferentes valores de t na função e analisar o seu comportamento.

Pois então, mão na massa!

Passo 2

A direção na qual o parâmetro t cresce ao longo da curva definida por

r t = t i + t j + c o s c o s   t k    

podemos usar o conceito de derivadas e vetor tangente à curva. A tangente a uma curva em um ponto específico fornece a direção instantânea da curva naquele ponto.

Vou te mostrar como se faz!

Primeiro, calcule a derivada da função vetorial r t = t i + t j + c o s c o s   t k     em relação a t . A derivada r ' ( t ) nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto.

r ' t = d r d t ​ = d d t ​ t i + t j + c o s t k

r ' t = i + j - s e n t k

Portanto, r ' ( t ) = ( c o s ⁡ t , 0 , - s e n ⁡ t )

Passo 3

Agora que temos a derivada vetorial r ' ( t ) , podemos usá-la para encontrar a tangente à curva em qualquer ponto específico. Vamos calcular a tangente em alguns pontos-chave:

Para t = 0 :

r ' 0 = i + j - s e n 0 k

r ' 0 = i + j - 0 k

r ' 0 = i + j

Para t = π 2 :

r ' π 2 = i + j - s e n π 2   k

r ' π 2 = i + j - k

Para t = π :

r ' π = i + j - s e n π k

r ' π = i + j

Analisando as posições, temos que a curva é uma trajetória no espaço tridimensional que oscila em torno do eixo z enquanto se move no plano x y .

A tangente à curva indica a direção instantânea da curva em diferentes pontos. Nas posições t = 0 e t = π , a tangente é na direção de i + j , enquanto em t = π 2 ​, a tangente é na direção de i + j - k .

Passo 4

O gráfico ficará:

O comportamento do gráfico revela uma curva paramétrica que se estende linearmente nos planos x y , enquanto exibe oscilações periódicas na direção do eixo z . Isso proporciona uma representação visual interessante da relação entre os parâmetros t e a forma da curva no espaço tridimensional.

Resposta

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