Enunciado

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

2 sqrt(x) + sqrt(y) = 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar implicitamente a função:

2 sqrt(x) + sqrt(y) = 3

Assim, vamos derivar a equação dada com relação a x , lembrando que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, usamos a regra da cadeia para derivar na forma:

(f (y))^' = f^' (y) * y '

E derivamos os termos com x normalmente, usando a regrinha da potência ( (x^n)^' = n x^(n - 1) ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:

(d)/(d x) (2 sqrt(x) + sqrt(y)) = (d)/(d x) ( 3 )

Agora usando a regra da cadeia junto com a regra da potência, temos a nossa derivada implícita:

2 * (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) + (1)/(2) y^((1)/(2) - 1) * ( y^' ) = 0

2 * (1)/(2) x^(- 1 // 2) + (1)/(2) y^(- 1 // 2) * y^' = 0

Simplificando:

x^(- 1 // 2) + (1)/(2) y^(- 1 // 2) y^' = 0

E isolando y ' , temos:

(y ')/(2 y^(1 // 2)) = - x^(- 1 // 2)

y^' = - 2 x^(- 1 // 2) y^(1 // 2)

y^' = - (2 sqrt(y))/(sqrt(x))

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y^' = - (2 sqrt(y))/(sqrt(x))

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