Encontre dy/dx derivando implicitamente.

2 \* raiz(x) + raiz(y) = 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar implicitamente a função:

2 x + y = 3

Assim, vamos derivar a equação dada com relação a x , lembrando que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, usamos a regra da cadeia para derivar na forma:

f y ' = f ' y ⋅ y '

E derivamos os termos com x normalmente, usando a regrinha da potência ( x n ' = n x n - 1 ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:

d d x 2 x + y = d d x ( 3 )

Agora usando a regra da cadeia junto com a regra da potência, temos a nossa derivada implícita:

2 ⋅ 1 2 x 1 2 - 1 + 1 2 y 1 2 - 1 ⋅ ( y ' ) = 0

2 ⋅ 1 2 x - 1 / 2 + 1 2 y - 1 / 2 ⋅ y ' = 0

Simplificando:

x - 1 / 2 + 1 2 y - 1 / 2 y ' = 0

E isolando y ' , temos:

y ' 2 y 1 / 2 = - x - 1 / 2

y ' = - 2 x - 1 / 2 y 1 / 2

y ' = - 2 y x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = - 2 y x

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