Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 1
a) Encontre derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter em função de .
c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom.. o enunciado nos dá a seguinte expressão:
Então... esta é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita.
O enunciado fornece uma equação em é dado implicitamente em função de .
No item (a) é pedido que se derive implicitamente encontrando em função de e .
Pra isso podemos usar uma formulinha...
Onde é a equação implícita com todos os termos em um lado da igualdade.
No item (b) é pedido que se isole para obter como função de explicitamente e daí efetuar a derivada encontrando apenas em função de .
No item (c) é pedido para comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.
Bora junto!! 😉
Passo 2
Primeiro vamos calcular a derivada implícita.
Então vamos preparar nossa equação passando tudo para um lado para aplicar a formulinha...
Portanto, temos que:
Agora derivamos com relação a considerando uma constante qualquer e vice-versa.
Com relação a :
Com relação a :
Substituindo na formulinha:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Vamos isolar em função de na equação .
Para simplificar na hora de derivar, vamos escrever da seguinte forma:
Derivando a expressão encontrada pela regra da potência...
Show?
Passo 4
Por fim, vamos comparar os dois resultados...
Substituindo a expressão encontrada para no passo 3 na expressão encontrada no passo 2, temos que:
Simplificando o numerador:
Assim, temos que
Que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
a)
b) e
c) Demonstração