Determine uma expressão para

d / dt [ u(t) ⋅ (v(t) × w(t)) ]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar uma expressão para a seguinte derivada:

d d t u t ⋅ ( v t × w t )

Para isso, precisamos aplicar a regra do produto escalar e a regra do produto vetorial.

Nesse sentido, supondo que x t e y t são funções vetoriais, temos que a derivada do produto escalar é dada por:

d d t x t ⋅ y t = x ' t ⋅ y t + x t ⋅ y ' t

E a derivada do produto vetorial é:

d d t x t × y t = x ' t × y t + x t × y ' t

Também precisaremos das seguintes relações de vetores mostradas na seção 12.4:

a ∙ b × c = a × b ∙ c

a × b = - b × a

Passo 2

Aplicando a regra do produto escalar, temos:

d d t u t ⋅ ( v t × w t ) = u ' t ⋅ v t × w t + u t ⋅ d d t v t × w t

Aplicando a regra do produto vetorial na derivada d d t v t × w t , temos:

= u ' t ⋅ v t × w t + u t ⋅ [ v ' t × w t + v t × w ' ( t ) ]

Aplicando a propriedade distributiva no segundo produto escalar temos:

= u ' t ⋅ v t × w t + u t ⋅ v ' t × w t + u t ⋅ [ v t × w ' ( t ) ]

Passo 3

Aplicando a primeira relação da seção 12.4 mostrada no passo 1, temos:

= u ' t ⋅ v t × w t + u t × v ' t ⋅ w t + [ u t × v ( t ) ] ⋅ w ' ( t )

Agora, aplicando a segunda relação da seção 12.4 mostrada no passo 1:

= u ' t ⋅ v t × w t + - v ' t × u t ⋅ w t + w ' t ⋅ [ u t × v ( t ) ]

Por fim, aplicamos novamente a primeira relação do passo 1:

= u ' t ⋅ v t × w t - v ' t ⋅ [ u t × w ( t ) ] + w ' t ⋅ [ u t × v ( t ) ]

Resposta

d d t u t ⋅ ( v t × w t )

= u ' t ⋅ v t × w t - v ' t ⋅ [ u t × w ( t ) ] + w ' t ⋅ [ u t × v ( t ) ]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e kappa . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e tau para essas curvas espaciais13. r(t) = (t^3 / 3)i + (t^2 / 2)j , t0
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e kappa . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e tau para essas curvas espaciais12. r(t) = 6 * sen(2t) * i + 6 * cos(2t) * j + 5t * k
Curvas diferenciáveis com torção zero estão em planos - Uma curva suficientemente diferenciável com torção zero estar em um plano é um caso especial do fato de que uma partícula cuja velocidade perman
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e kappa . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e tau para essas curvas espaciais10. r(t) = (cos(t) + t * sen(t)) i + (sen(t) - t * cos
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T, N e kappa . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e tau para essas curvas espaciais15. r(t) = t * i + a * cosh(t/a) * j, a0