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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 10

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

10. r t = cos ⁡ t + t sen ⁡ t i + sen ⁡ t - t cos ⁡ t j + 3 k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

r t = cos ⁡ t + t sen ⁡ t i + sen ⁡ t - t cos ⁡ t j + 3 k

Vamos derivar a expressão

r ' t = - sen ⁡ t + sen ⁡ t + t cos ⁡ t i + cos ⁡ t - cos ⁡ t - t sen ⁡ t j + 0 k

Com isso, a magnitude pode ser calculada da seguinte forma

r ' t = t 2 cos 2 ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t + 16 = t 2 = t

Lembrando que

T t = r ' t r ' t

Com isso, nós temos que

T t = t cos ⁡ t i - t sen ⁡ t j + 0 k t = cos ⁡ t i + sen ⁡ t j + 0   k

Novamente, derivando o termo T

T ' t = cos ⁡ t i + s en ⁡ t j + 0   k

Encontrando a magnitude

T ' ( t ) = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 0 2 = 1

Passo 2

Já temos o termo T , agora vamos em busca de N , que é dado da seguinte forma

N t = T ( t ) T ' ( t )

Substituindo os valores, nós temos que

N t = - sen ⁡ t + cos ⁡ t j + 0   k 1 = - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j + 0   k

E para B = T × N

B = i j k cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 0 = k cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = k

Já para o caso de τ , que é um pouquinho mais complicado, já que envolve derivadas, é dada da seguinte forma

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' i j k x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' 2

Substituindo os valores...

x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' = t cos ⁡ t t sen ⁡ t 0 cos ⁡ t - t sen ⁡ t t cos ⁡ t + sen ⁡ t 0 - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t 0 = 0

Passo 3

Para o caso de v × a

v × a = i j k t cos ⁡ t - t sen ⁡ t 0 - 3 sen ⁡ t t cos ⁡ t + s en ⁡ t 0

Logo, temos que

v × a = i - 3 sen ⁡ t 4 - 3  cos ⁡ t 0 - j 3 cos ⁡ t 4 - 3 sen ⁡ t 0 + k 3 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t - 3  sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t

Desenvolvendo os termos

v × a = k t cos ⁡ t t cos ⁡ t + sen ⁡ t - t sen ⁡ t cos ⁡ t - t sen ⁡ t

Com isso, nós temos que

v × a = k t 2 cos 2 ⁡ t + t cos ⁡ t sen ⁡ t - t sen ⁡ t cos ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t = k t 2

Simplificando os termos

v × a 2 = t 4

Portanto,

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = 0 t 4 = 0

Resposta

B = k

τ = 0

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Se f → é uma função vetorial derivável e h t = f → t ,mostrar que f→ t ⋅ f ' → t = h t h ' t
Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r ' ' , então d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais14. r t = cos 3 ⁡ t i + sen 3 ⁡ t j , 0tπ / 2
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