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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 12

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

12. r t = 6 sen ⁡ 2 t i + 6 cos ⁡ 2 t j + 5 t k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Diferenciando a equação dada em relação a t , obtemos

v = d r d t = d d t 6 sen ⁡ 2 t i + 6 cos ⁡ 2 t j + 5 t k

Que tem como resultado

v = 12 cos ⁡ 2 t i - 12 sin ⁡ 2 t j + 5 k

Derivando novamente, obtemos que

a = - 24 sen ⁡ 2 t i - 24 cos ⁡ 2 t j

E novamente diferenciando a equação acima em relação a t , para obter

a ' = d a t d t = - 48 cos ⁡ 2 t i + 48 sen ⁡ 2 t j

Da equação (1), obtemos que

v ( t ) = 12 cos ⁡ 2 t 2 + - 12 sin ⁡ 2 t 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169 = 13

Passo 2

Se r ( t ) é uma curva suave, então a unidade principal normal é

N = d T d t d T d t

Onde T = v v é o vetor tangente unitário, com isso

T = 12 cos ⁡ 2 t i - 12 sin ⁡ 2 t j + 5 k 13 = 12 13 cos ⁡ 2 t i - 12 13 sen ⁡ 2 t j + 5 13 k

Diferenciando a equação acima em relação a t , obtemos

d T d t = - 24 13 sen ⁡ 2 t i - 24 13 cos ⁡ 2 t j

Então, o módulo será igual a

d T d t = - 24 13 sen ⁡ 2 t 2 + 24 13 cos ⁡ 2 t 2 = 576 169 ( cos 2 ⁡ 2 t + sen 2 ⁡ 2 t ) = 24 13

Então, para o termo N

N = d T d t d T d t = - 24 13 sen ⁡ 2 t i - 24 13 cos ⁡ 2 t j 24 13 = - sen ⁡ 2 t i - cos ⁡ 2 t j

Passo 3

O vetor binormal é dado por

B = T × N

Então

B = i j k 12 13 cos ⁡ 2 t - 12 13 sen ⁡ 2 t 5 13 - sen ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t 0 = 5 13 cos ⁡ 2 t i - 5 13 sen ⁡ 2 t j - 12 13 k

E para o torsor

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2

Calculando v × a

v × a = i j k 12 cos ⁡ 2 t - 12 sen ⁡ 2 t 5 - 24 sen ⁡ 2 t - 24   cos ⁡ 2 t 0 = 120 cos ⁡ 2 t i - 120 sen ⁡ 2 t j - 288   k

Com isso, o módulo será igual a

v × a = 120 cos ⁡ 2 t 2 + - 120 sen ⁡ 2 t 2 + - 288 2 = 97344

Então, a torção é igual a

τ = i j k 12 cos ⁡ 2 t - 12 sen ⁡ 2 t 5 - 24 sen ⁡ 2 t - 24  cos ⁡ 2 t 0 97344 2 = - 5760 97344 = - 10 169

Resposta

B = 5 13 cos ⁡ 2 t i - 5 13 sen ⁡ 2 t j - 12 13 k

τ = - 10 169

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Determine a derivada da função vetorial. r t = t a × ( b + t c )
Calcule a integral. ∫ 1 4 t i ^ + t e - t j ^ + 1 t 2 k ^ d t
Determine r ( t ) se r ' t = t 2 i ^ + 4 t 3 j ^ - t 2 k ^ e r 0 = j ^ .
Se u → t = i ^ - 2 t 2 j ^ + 3 t 3 k ^ e v → t = t i ^ + cos ⁡ t j ^ + s e nt k ^ . Determine: d d t [ u → t ∙ v → t ]
Determine r → t se r → ' t = s e nt i ^ - cos ⁡ t j ^ + 2 t k ^ e r → 0 = i ^ + j ^ + 2 k ^