Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 27
Curvas diferenciáveis com torção zero estão em planos - Uma curva suficientemente diferenciável com torção zero estar em um plano é um caso especial do fato de que uma partícula cuja velocidade permanece perpendicular a um vetor fixo se move em um plano perpendicular a . Isso, por sua vez, pode ser visualizado como o resultado a seguir. Suponha que é duas vezes diferenciável para todo em um intervalo , que quando e que para todo em [a, b]. Mostre que para todo em . (Sugestão: comece com e aplique as condições iniciais em ordem inversa.)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Consideraremos o caso na tarefa de maneira puramente matemática. A generalização no modo físico segue de nossos cálculos, o que realmente afirmamos aqui é que existe um vetor constante no qual o caminho da partícula é perpendicular. Intuitivamente, esta é exatamente a definição de um caminho que se encontra em um único plano. Se o caminho "oscila" para fora do plano, ele pode "oscilar" de tal forma que o ângulo entre o vetor normal do plano e o vetor tangente do caminho não seja mais de . Portanto, acabamos de simplificar nosso problema na primeira frase inicial da tarefa.
Se a curva estiver no plano, sua torção é igual a zero. A afirmação também é verdadeira na outra direção, se a torção for zero, a curva está no plano.
Vamos agora provar ambas as afirmações. Em nossa prova assumiremos que a curva é dada por sua parametrização de comprimento de arco. Os cálculos são os mesmos se a curva for dada pela parametrização diferente, pois sempre podemos reparametrizá-la.
Passo 2
Vamos supor primeiro que a curva está no plano. A parametrização da curva será denotada com . Se isso for verdade, existem vetores constantes tais que a equação do plano abaixo é satisfeita:
Se você não está confuso com a equação acima, pode pular esta explicação para o próximo parágrafo. A equação acima nada mais é do que uma generalização da equação do plano normal. Qualquer plano tem um vetor normal e neste caso escolhemos algum vetor para ser perpendicular ao vetor
Precisamos do vetor do mesmo plano apenas por razões técnicas. Queremos garantir que permaneça no plano para cada combinação linear de e algum vetor do plano. É claro que isso é apenas um formalismo que não será necessário na prova real. Agora pegando a derivada da equação acima. Segue que:
Isto implica que é ortogonal tanto em quanto em . Portanto, podemos definir o vetor binormal
Passo 3
No entanto, como é um vetor constante (não depende de ), segue-se que também é um vetor constante. Como consequência:
Suponhamos agora que a torção da curva onde é o intervalo no qual a curva é definida. Da última parte da prova, sabemos com certeza que se a torção é zero, então o vetor binormal é constante. Agora, para algum , considerando a função:
Pegando a derivada de , nós temos que
Portanto, a derivada da função é zero. Isso significa que a função é constante. Além disso, a função é zero para o valor de algum fixo, portanto, a constante que é a função é zero. Mas isso significa que a imagem está em um único plano devido ao fato de que em todos os lugares.
Resposta
Respondido acima!