Determine uma fórmula para a função inversa e verifique se .

Bora lá! Como eu disse no PASSO 1, pra achar a inversa de uma função, basta trocar o com o e isolar o Mas onde que tá nosso Tá ali, no Então, , ok? Vamos trocar:

. Agora, vamos isolar o Passando o pro outro lado como divisão e o pro outro, como multiplicação:

.

Passando o 1 como subtração pro outro lado:

Você se lembra que , para qualquer

Vamos fazer isso ali, com o saca só:

, ok?

Agora vamos tirar o mmc do lado direito:

.

Passando pro lado direito e “” e “” pro lado esquerdo:

=.

Pra tirar esse do expoente (que é a nossa incógnita) temos que usar o nosso queridíssimo logaritmo! Qual base? Vamos usar a base 2 pra fazer aquele 2 ali sumir, ok? Mas temos que usar o dos dois lados, senão não vai dar certo.

Tem uma propriedade de logaritmo que diz que, se você tem um expoente dentro do você pode descer ele como multiplicação. Assim, ó: .

Mas repara que , para qualquer e Com isso:

Esse é o valor da nossa inversa.

Agora que temos a inversa, vamos ver se .

e .

, certo? Onde tem em a gente colocou .

Agora, preciso te lembrar de uma propriedade de logaritmo:

. Tá vendo aquele ?

A base do é e a base da potência também, então eu vou usar aquela propriedade. Mas tem uma coisa que atrapalha, que é aquele sinal de menos. Eu vou usar “a volta” da propriedade que desce o expoente e vou subir ele.

e agora vou poder usar aquela propriedade.

. Reflete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda…

. Pronto, a primeira já foi!

Agora só falta ver se , e .

, porque onde tem em a gente coloca .

Pela propriedade de divisão no logaritmo:

Cancelando os :

Pela propriedade que desce o expoente:

, que é o que a gente queria.