Enunciado

Simplifique a expressão.

sin ⁡ 2 arccos ⁡ x

Passo 1

Fala aí meu povo! Agora o negócio ficou um pouquinho mais difícil! E agora? Seno de arco cosseno? Que que isso?

Calma! Você já viu um monte de questões com as funções trigonométricas inversas (arco cosseno, arco seno, arco tangente e etc...). Mas vamos lembrar! A função arco cosseno é a inversa do cosseno.

Se:

y = arccos ⁡ x

Então:

x = cos ⁡ y

Viu? É só a gente ir devagar que tudo se esclarece!

Aqui queremos simplificar a expressão:

sin ⁡ 2 arccos ⁡ x

Então eu já vou te adiantar que, pra organizar os nossos dados e equação, a gente vai fazer uma substituição. Vamos pegar esse arco cosseno que está dentro do seno e chamar de u :

arccos ⁡ x = u

Hmmm, já ficou mais bonitinho ne?

Então fazendo a substituição na expressão que queremos calcular, o que temos que achar vai ficar:

sin ⁡ 2 arccos ⁡ x = sin ⁡ ( 2 u )

Então vamos pro passo 2!

Passo 2

Bem, se definimos que

arccos ⁡ x = u

Então invertendo (ou aplicando a função cosseno dos dois lados da equação), vamos ficar com:

x = cos ⁡ u

Veja o triangulo que representa esta relação:

O lado que ainda não temos pode ser obtido do teorema de Pitágoras. Ou então, se a gente não quiser trabalhar com geometria, podemos retirar da relação fundamental da trigonometria:

sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1

Então:

sin ⁡ u = 1 - cos 2 ⁡ u

Relembrando que x = cos ⁡ u :

sin ⁡ u = 1 - x 2

E o triângulo fica:

Passo 3

Bem, nós achamos que:

sin ⁡ u = 1 - x 2

Mas se lembra o que a gente tava procurando pra começar a questão. Nós queremos calcular:

sin ⁡ 2 arccos ⁡ x = sin ⁡ 2 u

E pra isso temos a relação perfeita: A FÓRMULA DO ARCO DUPLO!

sin ⁡ 2 u = 2 sin ⁡ u cos ⁡ u

Pelo triângulo, nós já vimos que sin ⁡ u = 1 - x 2   e cos ⁡ u = x

Então basta substituir na relação acima:

sin ⁡ 2 u = 2 sin ⁡ u cos ⁡ u = 2   1 - x 2   x

E nossa resposta é:

sin ⁡ 2 u = sin ⁡ 2 arccos ⁡ x = 2   x 1 - x 2  

Resposta

sin ⁡ 2 arccos ⁡ x = 2   x 1 - x 2

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