Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 66
Determine se a função dada é diferenciável em um valor , sendo que está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é uma consequência do Teorema do Valor Médio. Teorema: Seja uma função contínua em e suponha que exista . Então é diferenciável em e .
Mostre que:
é contínua em Determine se é diferenciável em . Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.
Passo 1
O primeiro passo é descobrir se a função é contínua em . Para isso, precisamos que:
Se isso acontecer, é contínua em .
Passo 2
Calculando o limite:
Onde:
Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.
Limite lateral pela esquerda:
Limite lateral pela direita:
Opa, os limites laterais não coincidiram, então o limite não existe! O que nos diz que a função não é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o teorema do enunciado:
“Teorema: Seja uma função contínua em e suponha que exista . Então é diferenciável em e .”
Com isso, como não é contínua em , ela também não é diferenciável em .
Resposta
Não é contínua, logo não é diferenciável em .