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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 55

55-Encontre underset(x -> (pi)/(4))(lim) (cos x - s e n x)/(x - (pi)/(4))

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição:

x - (pi)/(4) = t

Então,

x = t + (pi)/(4)

Galera, só lembra que como estamos trabalhando com o t , se o x tende a (pi)/(4) o t tende a zero. Ok ???

Substituindo....

underset(t -> 0)(lim) (cos ( t + (pi)/(4) ) - s e n ( t + (pi)/(4) ))/(t)

Você estar se perguntando... E agora o que eu faço ???

Bom, eu tenho certeza que intuitivamente você vendo essa soma de arcos no seno e cosseno usaria isso aqui:

cos (a + b) = cos a cos b - s e n a cos b

E

s e n (a + b) = s e n a cos b + s e n b cos a

Pode ser assustador porque o limite vai ficar giganteeee, masss não tem jeito.... Respira fundo e vamos lá !!

Passo 2

Assim,

underset(t -> 0)(lim) (cos t xx (cos pi)/(4) - s e n t xx s e n (pi)/(4) - s e n t xx cos (pi)/(4) - s e n (pi)/(4) xx c o s t)/(t)

Dessa forma,

underset(t -> 0)(lim) (cos t xx (cos pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n t xx s e n (pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n t xx cos (pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n (pi)/(4) xx c o s t)/(t)

Logo,

underset(t -> 0)(lim) (cos t xx (sqrt(2))/(2))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n t xx s e n (pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n t xx cos (pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) ((sqrt(2))/(2) xx c o s t)/(t) =

- underset(t -> 0)(lim) (s e n t xx s e n (pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n t xx cos (pi)/(4))/(t)

Fala sério, nosso limite deu uma reduzida considerável ?!

Por fim, pelo limite trigonométrico fundamental nós temos que:

underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1

Portanto,

- underset(t -> 0)(lim) (s e n t)/(t) xx underset(t -> 0)(lim) (s e n (pi)/(4))/(t) - underset(t -> 0)(lim) (s e n t)/(t) xx underset(t -> 0)(lim) (cos (pi)/(4))/(t) =

- 1 xx (sqrt(2))/(2) - 1 xx (sqrt(2))/(2) = - sqrt(2)

Ufaaaaa.... Acabou!!!!

Resposta

- sqrt(2)

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