Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 3
Determine se a função dada é par, ímpar, ou nenhuma das duas.
Passo 1
Nosso primeiro passo para resolver o exercício é relembrar o conceito de função par e função ímpar.
Uma função par é uma equação em que:
Para todo contido no domínio de .
Por outro lado, uma função ímpar é definida como:
Para todo contido no domínio de .
Vamos agora ver uma propriedade de funções pares e ímpares. O quociente de duas funções pares, irá gerar uma nova função par.
Da mesma forma, o quociente de duas funções ímpares, também têm como resultado uma função par.
E, finalmente, se temos o quociente de uma função par e uma ímpar, teremos uma função que é ímpar.
Com estes conceitos em mente, vamos analisar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. Tudo bem?
Passo 2
Temos a função:
Podemos reescrevê-la como:
Em que
Vamos analisar as funções e separadamente para ver se são pares ou ímpares.
Então
E, portanto é ímpar.
Para :
Assim,
e, é uma função par.
Passo 3
Definimos a função como um quociente entre as funções e . Pela propriedade de quociente de funções pares e ímpares, se é ímpar e é par, o quociente das duas será uma função ímpar. Então, é ímpar.
Resposta
Ímpar.