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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 41

Determine se a função definida por partes é derivável na origem

f x = 2 x   -   1 ,     x ≥ 0 x 2 + 2 x   +   7 ,     x < 0

Passo 1

Para definir se uma função é derivável em um ponto, basta calcular a derivada laterais ao ponto.

Passo 2

Devemos saber que definimos a derivada à esquerda de uma função como sendo:

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   f x - f k x   -   k

Já a derivada à direita é definida como:

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   f x - f k x   -   k

Passo 3

Calculando a derivada à direita:

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   f x - f k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   2 x   -   1 - 2 k   -   1 x   -   k

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   2 x   - 2 k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   2 ( x   - k ) x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   2

Se   k = 0

d d x f x   =   lim x → 0 - ⁡   2   =   2

Passo 4

Calculando a derivada à esquerda:

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   f x - f k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   x 2 + 2 x   +   7 - k 2 + 2 k   +   7 x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   x 2 + 2 x   - k 2 + 2 k   x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   x 2 - k 2 + 2 x   - 2 k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   ( x   -   k ) ( x   +   k ) + 2 ( x   -   k ) x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   ( x   +   k ) + 2

d d x f x   =   (   k +   k ) + 2   =   2 k   + 2  

Se k   =   0

d d x f x   =     2 ∙ 0   + 2   =   2

Resposta

Como as derivadas laterais são diferentes para x   =   0 , a função não é derivável na origem.

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